東京大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $f(0)=c=\alpha$ である。また$$a+b=\beta -\alpha ,-a+bi=\gamma -\alpha$$である。両式を加えると$$(1+i)b=\beta +\gamma -2\alpha$$となるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a}& {\displaystyle =\frac{\beta -\gamma +i(\beta +\gamma -2\alpha )}{2},}\\ {\displaystyle b}& {\displaystyle =\frac{(\beta +\gamma -2\alpha )(1-i)}{2},}\\ {\displaystyle c}& {\displaystyle =\alpha }\end{array}$$である。

(2) (1)より$$f(2)=(3\beta -\gamma -\alpha )+i(\beta +\gamma -2\alpha )$$である。$$\alpha =1+u,\beta =1+v,\gamma =1+w$$ とおくと $0\leqq u,v,w\leqq 1$ であり，$$f(2)=1+(-u+3v-w)+i(-2u+v+w)$$となる。立方体の8頂点の像は$$\begin{array}{cccc}(u,v,w)& f(2)& (u,v,w)& f(2)\\ (0,0,0)& 1& (1,0,0)& -2i\\ (0,1,0)& 4+i& (0,0,1)& i\\ (1,1,0)& 3-i& (1,0,1)& -1-i\\ (0,1,1)& 3+2i& (1,1,1)& 2\end{array}$$である。$1,2$ は内部にあり，外側の6頂点は$$-1-i,-2i,3-i,4+i,3+2i,i$$である。したがって求める範囲は，これらを順に結んだ六角形の周および内部である。

3点 $0,1,i$ における値から2次式を補間する。補間基底を展開すれば(1)の係数が直ちに得られ，$z=2$ を代入すれば $f(2)$ は $\alpha ,\beta ,\gamma$ の一次結合になる。(2) では各値の区間幅1に対応する3本の線分の和として領域を作り，端点和から六角形を得る。

(1) 3点 $0,1,i$ に対する補間公式より$$f(z)=-i\alpha (z-1)(z-i)+\frac{\beta z(z-i)}{1-i}-\frac{\gamma z(z-1)}{1+i}$$である。実際，$z=0,1,i$ を代入すれば，それぞれ $\alpha ,\beta ,\gamma$ になる。これを $z$ について整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a}& {\displaystyle =\frac{\beta -\gamma +i(\beta +\gamma -2\alpha )}{2},}\\ {\displaystyle b}& {\displaystyle =\frac{(\beta +\gamma -2\alpha )(1-i)}{2},}\\ {\displaystyle c}& {\displaystyle =\alpha }\end{array}$$を得る。

(2) 補間公式に $z=2$ を代入すると$$f(2)=(-1-2i)\alpha +(3+i)\beta +(-1+i)\gamma$$である。$$\alpha =1+u,\beta =1+v,\gamma =1+w$$ とおけば$$f(2)=1+u(-1-2i)+v(3+i)+w(-1+i),0\leqq u,v,w\leqq 1$$となる。

つまり点1から出発し，方向 $-1-2i$，$3+i$，$-1+i$ の3本の線分を独立に足し合わせた領域である。端点の和を順に調べると外周の頂点は$$-1-i,-2i,3-i,4+i,3+2i,i$$となる。各係数の区間は閉区間なので，この六角形は周も含む。