東京大学 2021年度理系数学第2問解答・解説

問題

複素数 $a, b, c$ に対して整式 $f (z) = a z^{2} + b z + c$ を考える。 $i$ を虚数単位とする。

(1) $α, β, γ$ を複素数とする。 $f (0) = α$ ， $f (1) = β$ ， $f (i) = γ$ が成り立つとき， $a, b, c$ をそれぞれ $α, β, γ$ で表せ。

(2) $f (0)$ ， $f (1)$ ， $f (i)$ がいずれも1以上2以下の実数であるとき， $f (2)$ のとりうる範囲を複素平面上に図示せよ。

出典：東京大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系第2問

(1) は $f (0), f (1), f (i)$ から得る3本の一次式を解く。(2) は $α, β, γ$ を区間 $[1, 2]$ の独立な実数と見て， $f (2)$ の実部・虚部を一次式にする。単位立方体の8頂点の像を求め，その凸包の外側6点を順につないで六角形を描く。

3点 $0, 1, i$ における値から2次式を補間する。補間基底を展開すれば(1)の係数が直ちに得られ， $z = 2$ を代入すれば $f (2)$ は $α, β, γ$ の一次結合になる。(2) では各値の区間幅1に対応する3本の線分の和として領域を作り，端点和から六角形を得る。

$f (0) = c = α$ である。また

a + b = β - α, - a + bi = γ - α

である。両式を加えると

(1 + i) b = β + γ - 2 α

となるので

a b c = \frac{β - γ + i ( β + γ - 2 α )}{2}, = \frac{( β + γ - 2 α ) ( 1 - i )}{2}, = α

である。

(1)より

f (2) = (3 β - γ - α) + i (β + γ - 2 α)

である。 $α = 1 + u, β = 1 + v, γ = 1 + w$ とおくと $0 ≦ u, v, w ≦ 1$ であり，

f (2) = 1 + (- u + 3 v - w) + i (- 2 u + v + w)

となる。立方体の8頂点の像は

(u, v, w) (0, 0, 0) (0, 1, 0) (1, 1, 0) (0, 1, 1) f (2) 1 4 + i 3 - i 3 + 2 i (u, v, w) (1, 0, 0) (0, 0, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 1) f (2) - 2 i i - 1 - i 2

である。 $1, 2$ は内部にあり，外側の6頂点は

- 1 - i, - 2 i, 3 - i, 4 + i, 3 + 2 i, i

である。したがって求める範囲は，これらを順に結んだ六角形の周および内部である。

3点 $0, 1, i$ に対する補間公式より

f (z) = - i α (z - 1) (z - i) + \frac{β z ( z - i )}{1 - i} - \frac{γ z ( z - 1 )}{1 + i}

である。実際， $z = 0, 1, i$ を代入すれば，それぞれ $α, β, γ$ になる。これを $z$ について整理すると

a b c = \frac{β - γ + i ( β + γ - 2 α )}{2}, = \frac{( β + γ - 2 α ) ( 1 - i )}{2}, = α

を得る。

補間公式に $z = 2$ を代入すると

f (2) = (- 1 - 2 i) α + (3 + i) β + (- 1 + i) γ

である。 $α = 1 + u, β = 1 + v, γ = 1 + w$ とおけば

f (2) = 1 + u (- 1 - 2 i) + v (3 + i) + w (- 1 + i), 0 ≦ u, v, w ≦ 1

となる。

つまり点1から出発し，方向 $- 1 - 2 i$ ， $3 + i$ ， $- 1 + i$ の3本の線分を独立に足し合わせた領域である。端点の和を順に調べると外周の頂点は

- 1 - i, - 2 i, 3 - i, 4 + i, 3 + 2 i, i

となる。各係数の区間は閉区間なので，この六角形は周も含む。