東京大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $P$ は放物線 $y=x^2$ 上にあり、$x$ 座標が $a$ であるから $P=(a,a^2)$ である。$P$ が領域 $$D:0\leqq x\leqq 3,0\leqq y\leqq 3$$ にあることから $0\leqq a\leqq \sqrt{3}$ である。

次に、$P$ が $O(0,0)$ から十分離れている条件は $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\geqq 1\text{または}\mathrm{\mid }{a}^2\mathrm{\mid }\geqq 1$ である。$a\geqq 0$ なので、これは $a\geqq 1$ と同値である。 $1\leqq a\leqq \sqrt{3}$ のとき、点 $A(3,0)$ については $\mathrm{\mid }{a}^2-0\mathrm{\mid }=a^2\geqq 1$ であるから十分離れている。また点 $B(3,3)$ については $$\mathrm{\mid }a-3\mathrm{\mid }=3-a\geqq 3-\sqrt{3}>1$$ であるから十分離れている。

したがって $a$ のとりうる値の範囲は $1\leqq a\leqq \sqrt{3}$ である。

(2)
点 $T(x_T,y_T)$ から十分離れていない点の集合は $$\mathrm{\mid }x-x_T\mathrm{\mid }<1,\mathrm{\mid }y-y_T\mathrm{\mid }<1$$ を満たす開正方形である。境界を含むかどうかは面積に影響しないので、以下では面積だけを計算する。

まず $O,A,B$ から十分離れていない部分を $D$ から除く。これらは $D$ 内でそれぞれ面積1の正方形になり、互いに面積をもつ重なりはない。したがって、この3点によって除かれる面積は $3$ である。

次に $P=(a,a^2)$ から十分離れていない部分を考える。 $1\leqq a\leqq \sqrt{2}$ のとき、$P$ まわりの一辺2の正方形は $D$ からはみ出さない。したがってその面積は4である。この正方形と、$O,A,B$ まわりの3つの正方形との重なり面積は順に $(2-a)(2-a^2),(a-1)(2-a^2),(a-1)(a^2-1)$ である。よって除かれる面積の和集合を包除原理で数えると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(a)}& {\displaystyle =9-3-4+(2-a)(2-a^2)+(a-1)(2-a^2)+(a-1)(a^2-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^3-2a^2-a+5}\end{array}$$である。 $$\sqrt{2}\leqq a\leqq \sqrt{3}$$ のとき、$P$ まわりの正方形は $D$ の上辺 $y=3$ を越える。$D$ 内に残る部分の横幅は2、縦の長さは $3-(a^2-1)=4-a^2$ であるから、その面積は $2(4-a^2)$ である。この部分が $O,A$ まわりの正方形と面積をもって重なることはなく、$B$ まわりの正方形との重なりだけがある。その重なり面積は横幅 $a-1$、縦幅1より $a-1$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(a)}& {\displaystyle =9-3-2(4-a^2)+(a-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a^2+a-3}\end{array}$$である。

以上より$$f(a)=\{\begin{array}{ll}{a}^3-2a^2-a+5& (1\leqq a\leqq \sqrt{2}),\\ 2a^2+a-3& (\sqrt{2}\leqq a\leqq \sqrt{3})\end{array}$$である。なお $a=\sqrt{2}$ ではどちらの式も $1+\sqrt{2}$ となり一致する。

(3) $1\leqq a\leqq \sqrt{2}$ では $f^{\mathrm{\prime }}(a)=3a^2-4a-1$ である。この区間では $a\geqq 1$ なので $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ は増加しており、最大でも $$f^{\mathrm{\prime }}(\sqrt{2})=6-4\sqrt{2}-1=5-4\sqrt{2}<0$$ である。したがって $f(a)$ はこの区間で減少する。

一方、$$\sqrt{2}\leqq a\leqq \sqrt{3}$$ では $f^{\mathrm{\prime }}(a)=4a+1>0$ であるから、$f(a)$ はこの区間で増加する。

よって $f(a)$ は境目の $a=\sqrt{2}$ で最小になる。

まず $O,A,B$ の近傍を除いた基本領域の面積6を作り、そこから $P$ の一辺2の近傍正方形のうち基本領域に重なる部分だけを引く。図で重なりを固定し、$a=\sqrt{2}$ で上辺からはみ出すかを分ける。

(1)
$P=(a,a^2)\in D$ より $0\leqq a\leqq \sqrt{3}$。$O$ から十分離れる条件は $a\geqq 1$ であり、この範囲では $A,B$ からの条件も自動的に満たす。よって$$1\leqq a\leqq \sqrt{3}\mathrm{.}$$(2)
「十分離れていない」範囲は各点を中心とする一辺2の開正方形である。$O,A,B$ の近傍を $D$ から除いた基本領域の面積は $9-3=6$ である。

$1\leqq a\leqq \sqrt{2}$ では $P$ の近傍正方形は $D$ 内にあり、その面積4から3つの灰色部分との重なり$$(2-a)(2-a^2),(a-1)(2-a^2),(a-1)(a^2-1)$$を除いた分だけ基本領域を削る。よって$$f(a)=6-4+(2-a)(2-a^2)+(a-1)(2-a^2)+(a-1)(a^2-1)=a^3-2a^2-a+5.$$$$\sqrt{2}\leqq a\leqq \sqrt{3}$$ では $D$ 内の $P$ 近傍は面積 $2(4-a^2)$ で、$B$ 近傍との重なり $a-1$ だけを戻す。したがって$$f(a)=6-2(4-a^2)+(a-1)=2a^2+a-3.$$(3)
前半の導関数は $$3a^2-4a-1<0(1\leqq a\leqq \sqrt{2})$$、後半は $4a+1>0$ である。よって最小にする値は$$a=\sqrt{2}$$である。