東京大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

点 $A(-\alpha ,-3)$，$P(\theta +\sin \theta ,\cos \theta )$ より $$f(\theta )=(\theta +\sin \theta +\alpha {)}^2+(\cos \theta +3{)}^2$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{2}{f}^{\mathrm{\prime }}(\theta )}& {\displaystyle =(\theta +\sin \theta +\alpha )(1+\cos \theta )-(\cos \theta +3)\sin \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1+\cos \theta )(\theta +\alpha )-2\sin \theta }\end{array}$$である。 $0<\theta <\pi$ では $1+\cos \theta >0$ であるから，$f^{\mathrm{\prime }}(\theta )=0$ は $$\theta +\alpha =\frac{2\sin \theta }{1+\cos \theta }$$ と同値である。半角の公式より $$\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\tan \frac{\theta }{2}$$ なので $$\alpha =2\tan \frac{\theta }{2}-\theta$$ となる。

ここで $$\varphi (\theta )=2\tan \frac{\theta }{2}-\theta$$ とおくと $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(\theta )=\frac{1}{{\cos }^2(\theta \mathrm{/}2)}-1={\tan }^2\frac{\theta }{2}>0$$ である。さらに$$\underset{\theta \to 0+}{\lim }\varphi (\theta )=0,\underset{\theta \to \pi -}{\lim }\varphi (\theta )=+\mathrm{\infty }$$である。$\alpha >0$ であるから，方程式 $\varphi (\theta )=\alpha$ は $0<\theta <\pi$ にただ1つの解をもつ。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(\theta )=0$ となる $\theta$ もただ1つ存在する。

(2)

(1) の計算より $$\frac{1}{2}{f}^{\mathrm{\prime }}(\theta )=(1+\cos \theta )\{\alpha -\varphi (\theta )\}$$ である。$1+\cos \theta >0$ であり，$\varphi$ は単調増加であるから，$\varphi (\theta )=\alpha$ を満たすただ1つの点を ${\theta }_0$ とすると$$f^{\mathrm{\prime }}(\theta )>0(0<\theta <{\theta }_0),f^{\mathrm{\prime }}(\theta )<0({\theta }_0<\theta <\pi )$$である。よって $f(\theta )$ は ${\theta }_0$ で最大値をとる。

この最大点が $$0<\theta <\frac{\pi }{2}$$ にあることは $${\theta }_0<\frac{\pi }{2}$$ と同値である。$\varphi$ は単調増加なので，これは $$\alpha =\varphi ({\theta }_0)<\varphi \left(\frac{\pi }{2}\right)$$ と同値である。ここで$$\varphi \left(\frac{\pi }{2}\right)=2\tan \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{2}=2-\frac{\pi }{2}$$である。

また $\alpha$ は正の実数である。したがって求める範囲は $$0<\alpha <2-\frac{\pi }{2}$$ である。等号の場合は最大点が $\theta =\pi \mathrm{/}2$ になり，指定された開区間には入らない。

微分して得られる臨界点条件を半角の正接で整理し、$\mathrm{\Phi }(\theta )=2\tan (\theta \mathrm{/}2)-\theta$ とおく。$\mathrm{\Phi }$ は $0<\theta <\pi$ で狭義単調増加し、0から無限大まで動くので臨界点は一意である。最大点が $(0,\pi \mathrm{/}2)$ にある条件は $\alpha <\mathrm{\Phi }(\pi \mathrm{/}2)$ として判定する。

(1) 距離の2乗を微分すると$$\frac{1}{2}{f}^{\mathrm{\prime }}(\theta )=(1+\cos \theta )(\theta +\alpha )-2\sin \theta$$である。ここで$$\frac{2\sin \theta }{1+\cos \theta }=2\tan \frac{\theta }{2}$$だから、$$\mathrm{\Phi }(\theta )=2\tan \frac{\theta }{2}-\theta$$とおけば$$\frac{1}{2}{f}^{\mathrm{\prime }}(\theta )=(1+\cos \theta )\{\alpha -\mathrm{\Phi }(\theta )\}$$となる。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(\theta )=0$ は$$\alpha =\mathrm{\Phi }(\theta )$$と同値である。

また$${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(\theta )=\frac{1}{{\cos }^2(\theta \mathrm{/}2)}-1={\tan }^2\frac{\theta }{2}>0(0<\theta <\pi )$$である。さらに $\theta \to 0+0$ で $\mathrm{\Phi }(\theta )\to 0$、$\theta \to \pi -0$ で $\mathrm{\Phi }(\theta )\to \mathrm{\infty }$ である。よって $\alpha >0$ に対し $\mathrm{\Phi }(\theta )=\alpha$ を満たす $\theta$ は $(0,\pi )$ にただ1つ存在する。

(2) $1+\cos \theta >0$ なので、$f^{\mathrm{\prime }}(\theta )$ の符号は $\alpha -\mathrm{\Phi }(\theta )$ の符号と一致する。$\mathrm{\Phi }$ は狭義単調に増加するから、唯一の臨界点の前で $f^{\mathrm{\prime }}>0$、後で $f^{\mathrm{\prime }}<0$ となる。したがってその点が最大点である。

最大点が $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ にあることは、$\mathrm{\Phi }$ の単調性より$$0<\alpha <\mathrm{\Phi }\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\tan \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{2}=2-\frac{\pi }{2}$$と同値である。よって求める範囲は$$0<\alpha <2-\frac{\pi }{2}$$である。