東京大学 2021年度理系数学第5問解答・解説

問題

$α$ を正の実数とする。 $0 ≦ θ ≦ π$ における $θ$ の関数 $f (θ)$ を，座標平面上の2点 $A (- α, - 3)$ ， $P (θ + sin θ, cos θ)$ 間の距離 $A P$ の2乗として定める。

(1) $0 < θ < π$ の範囲に $f^{'} (θ) = 0$ となる $θ$ がただ1つ存在することを示せ。

(2) 以下が成り立つような $α$ の範囲を求めよ。

$0 ≦ θ ≦ π$ における $θ$ の関数 $f (θ)$ は，区間 $0 < θ < \frac{π}{2}$ のある点において最大になる。

出典：東京大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

解法1（半角公式で臨界点を追う）

距離の2乗をそのまま展開して微分する。整理すると $f^{'} (θ)$ の符号は $(1 + cos θ) (θ + α) - 2 sin θ$ の符号で決まり， $0 < θ < π$ では $1 + cos θ > 0$ なので $f^{'} (θ) = 0$ は $α = 2 tan (θ /2) - θ$ と同値になる。この右辺を $ϕ (θ)$ とおき， $ϕ^{'} (θ) > 0$ と端の極限から臨界点の一意性を示す。最大点は符号変化によりその臨界点であり，それが $(0, π /2)$ に入る条件を $α < ϕ (π /2)$ として読む。

解法2（半角の正接を新変数にする）

微分して得られる臨界点条件に $u = tan (θ /2)$ を入れると， $α$ は $Ψ (u) = 2 u - 2 arctan u$ と等しくなる。 $Ψ$ は $u > 0$ で狭義単調増加し，0から無限大まで動くので解は一意である。最大点が $(0, π /2)$ にある条件は $0 < u < 1$ と同値なので， $Ψ (1)$ と比較する。

解答

解法1（半角公式で臨界点を追う）

(1)

点 $A (- α, - 3)$ ， $P (θ + sin θ, cos θ)$ より $f (θ) = (θ + sin θ + α)^{2} + (cos θ + 3)^{2}$ である。したがって

\frac{1}{2} f^{'} (θ) = (θ + sin θ + α) (1 + cos θ) - (cos θ + 3) sin θ = (1 + cos θ) (θ + α) - 2 sin θ

である。 $0 < θ < π$ では $1 + cos θ > 0$ であるから， $f^{'} (θ) = 0$ は $θ + α = \frac{2 s i n θ}{1 + c o s θ}$ と同値である。半角の公式より $\frac{s i n θ}{1 + c o s θ} = tan \frac{θ}{2}$ なので $α = 2 tan \frac{θ}{2} - θ$ となる。

ここで $ϕ (θ) = 2 tan \frac{θ}{2} - θ$ とおくと $ϕ^{'} (θ) = \frac{1}{c o s ^{2} ( θ /2 )} - 1 = tan^{2} \frac{θ}{2} > 0$ である。さらに

θ \to 0 + lim ϕ (θ) = 0, θ \to π - lim ϕ (θ) = + \infty

である。 $α > 0$ であるから，方程式 $ϕ (θ) = α$ は $0 < θ < π$ にただ1つの解をもつ。したがって $f^{'} (θ) = 0$ となる $θ$ もただ1つ存在する。

(2)

(1) の計算より $\frac{1}{2} f^{'} (θ) = (1 + cos θ) {α - ϕ (θ)}$ である。 $1 + cos θ > 0$ であり， $ϕ$ は単調増加であるから， $ϕ (θ) = α$ を満たすただ1つの点を $θ_{0}$ とすると

f^{'} (θ) > 0 (0 < θ < θ_{0}), f^{'} (θ) < 0 (θ_{0} < θ < π)

である。よって $f (θ)$ は $θ_{0}$ で最大値をとる。

この最大点が $0 < θ < \frac{π}{2}$ にあることは $θ_{0} < \frac{π}{2}$ と同値である。 $ϕ$ は単調増加なので，これは $α = ϕ (θ_{0}) < ϕ (\frac{π}{2})$ と同値である。ここで

ϕ (\frac{π}{2}) = 2 tan \frac{π}{4} - \frac{π}{2} = 2 - \frac{π}{2}

である。

また $α$ は正の実数である。したがって求める範囲は $0 < α < 2 - \frac{π}{2}$ である。等号の場合は最大点が $θ = π /2$ になり，指定された開区間には入らない。

解法2（半角の正接を新変数にする）

(1)

距離の2乗を微分すると

\frac{1}{2} f^{'} (θ) = (1 + cos θ) (θ + α) - 2 sin θ

である。 $0 < θ < π$ で

u = tan \frac{θ}{2}

とおくと $u > 0$ ， $θ = 2 arctan u$ であり，

\frac{2 sin θ}{1 + cos θ} = 2 u

である。したがって $f^{'} (θ) = 0$ は

α = 2 u - 2 arctan u

と同値である。

Ψ (u) = 2 u - 2 arctan u

とおくと

Ψ^{'} (u) = 2 - \frac{2}{1 + u ^{2}} = \frac{2 u ^{2}}{1 + u ^{2}} > 0 (u > 0)

である。また $u \to 0 +$ で $Ψ (u) \to 0$ ， $u \to \infty$ で $Ψ (u) \to \infty$ である。よって $α > 0$ に対し $Ψ (u) = α$ は正の解をただ1つもち，対応する $θ$ も $(0, π)$ にただ1つ存在する。

(2)

$f^{'} (θ)$ の符号は $α - Ψ (u)$ の符号と一致する。 $u = tan (θ /2)$ も $Ψ (u)$ も単調増加なので，唯一の臨界点の前で $f^{'} > 0$ ，後で $f^{'} < 0$ となる。したがってその点が最大点である。

最大点が $0 < θ < π /2$ にあることは

0 < u < 1

と同値である。 $Ψ$ の単調性より，これは

0 < α < Ψ (1) = 2 - 2 arctan 1 = 2 - \frac{π}{2}

と同値である。よって求める範囲は

0 < α < 2 - \frac{π}{2}

である。

東京大学 2021年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1（半角公式で臨界点を追う）

解法2（半角の正接を新変数にする）

解答

解法1（半角公式で臨界点を追う）

(1)

(2)

解法2（半角の正接を新変数にする）

(1)

(2)

東京大学 2021年度
理系数学第5問