東京大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$f(x)=\frac{x}{x^2+3}$$ より $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(x^2+3)-2x^2}{(x^2+3{)}^2}=\frac{3-x^2}{(x^2+3{)}^2}$$ である。したがって $$f(1)=\frac{1}{4},f^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{1}{8}$$ であるから，点 $A(1,f(1))$ における接線は $$g(x)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}(x-1)=\frac{x+1}{8}$$ である。

共有点は $$\frac{x}{x^2+3}=\frac{x+1}{8}$$ を満たす。両辺に $8(x^2+3)$ をかけると $8x=(x+1)(x^2+3)$ すなわち $x^3+x^2-5x+3=0$ である。左辺は $$x^3+x^2-5x+3=(x-1{)}^2(x+3)$$ と因数分解できる。$x=1$ は接点 $A$ に対応するので，$A$ と異なる共有点はただ1つであり，その $x$ 座標は $\alpha =-3$ である。

(2)

(1) の計算より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-g(x)}& {\displaystyle =\frac{x}{x^2+3}-\frac{x+1}{8}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{x^3+x^2-5x+3}{8(x^2+3)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{(x-1{)}^2(x+3)}{8(x^2+3)}}\end{array}$$である。したがって求める積分を $I$ とすると$$I={\int }_{-3}^1\frac{(x-1{)}^4(x+3{)}^2}{64(x^2+3{)}^2}dx$$である。

分子を展開して部分分数分解すると$$\frac{(x-1{)}^4(x+3{)}^2}{64(x^2+3{)}^2}=\frac{x^2}{64}+\frac{x}{32}-\frac{15}{64}-\frac{x-7}{4(x^2+3)}-\frac{3}{(x^2+3{)}^2}$$である。多項式部分の積分は$${\int }_{-3}^1(\frac{x^2}{64}+\frac{x}{32}-\frac{15}{64})dx=-\frac{11}{12}$$である。

また$${\int }_{-3}^1\frac{x}{x^2+3}dx=\frac{1}{2}{[\log (x^2+3)]}_{-3}^1=-\frac{1}{2}\log 3$$である。

ここで $x=\sqrt{3}\tan \theta$ とおくと、$x=-3,1$ はそれぞれ $\theta =-\pi \mathrm{/}3,\pi \mathrm{/}6$ に対応するから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-3}^1\frac{dx}{x^2+3}}& {\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}{\int }_{-\pi \mathrm{/}3}^{\pi \mathrm{/}6}d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{2\sqrt{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$である。

さらに同じ置換により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-3}^1\frac{dx}{(x^2+3{)}^2}}& {\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{9}{\int }_{-\pi \mathrm{/}3}^{\pi \mathrm{/}6}{\cos }^2\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{3}\pi }{36}}\end{array}$$である。

以上より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle =-\frac{11}{12}-\frac{1}{4}(-\frac{1}{2}\log 3)+\frac{7}{4}\cdot \frac{\pi }{2\sqrt{3}}-3(\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{3}\pi }{36})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{7}{6}+\frac{1}{8}\log 3+\frac{5\sqrt{3}\pi }{24}}\end{array}$$である。