東京大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
漸化式を3で割った余りで考えると $$a_{n+1}\equiv a_n^2+n(n+2)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ である。$a_1=4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ から順に計算すると$$\begin{array}{cccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)& 1& 1& 0& 0& 0& 2& 1\end{array}$$となる。実際、$n=1,2,3,4,5,6$ について $n(n+2)\equiv 0,2,0,0,2,0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であり、上の表が得られる。

ここで $n(n+2)$ の3で割った余りは $n$ を3だけ進めると同じである。さらに $n=7$ で $$a_7\equiv a_1\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ に戻るので、以後も同じ計算が繰り返され、$a_n$ の3で割った余りは周期6である。 $2022=6\cdot 337$ であるから $2022\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ であり、表の $n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ の欄より $a_{2022}\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。したがって余りは $2$ である。

(2) $$d=\gcd (a_{2022},a_{2023},a_{2024})$$ とおく。$d$ は $a_{2022}$ と $a_{2023}$ を割るので、$a_{2023}-a_{2022}^2$ も割る。漸化式より $$a_{2023}-a_{2022}^2=2022(2022+2)=2022\cdot 2024$$ であるから $d\mid 2022\cdot 2024$ である。

同様に、$d$ は $a_{2023}$ と $a_{2024}$ を割るので $$a_{2024}-a_{2023}^2=2023(2023+2)=2023\cdot 2025$$ も割る。したがって $d\mid 2023\cdot 2025$ である。

ここで $$2022=2\cdot 3\cdot 337,2024=2^3\cdot 11\cdot 23,$$ また $$2023=7\cdot {17}^2,2025=3^4\cdot 5^2$$ である。よって $$\gcd (2022\cdot 2024,2023\cdot 2025)=3$$ であり、$d$ は3の約数である。

一方、(1)より $a_{2022}\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であるから、$a_{2022}$ は3で割り切れない。したがって $d$ も3では割り切れない。ゆえに $d=1$ である。

合同式の状態を $(n<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>3,a_n<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>3)$ の組で追い、同じ状態へ戻ることで周期を厳密に確定する。最大公約数は、共通素因数が2つの連続整数積のどの因子に入りうるかを組合せて3だけに絞る。

(1) $$r_n\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),s_n\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ とおく。漸化式から次の状態は現在の $(r_n,s_n)$ だけで決まる。順に$$(r_n,s_n)=(1,1),(2,1),(0,0),(1,0),(2,0),(0,2),(1,1)$$となるので、最初の状態へ6項後に戻る。よって $a_n<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>3$ は$$1,1,0,0,0,2$$を周期6で繰り返す。$2022\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ だから余りは $2$ である。

(2) $$d=\gcd (a_{2022},a_{2023},a_{2024})$$ とおくと$$d\mid 2022\cdot 2024,d\mid 2023\cdot 2025.$$共通素因数 $p$ は、前者の $2022,2024$ のどちらかと、後者の $2023,2025$ のどちらかを割る。ところが$$\gcd (2022,2023)=\gcd (2024,2023)=\gcd (2024,2025)=1,\gcd (2022,2025)=3.$$したがって可能な素因数は3だけであり、$2022\cdot 2024$ に含まれる3は1個なので $d\mid 3$ である。(1)より $3\nmid a_{2022}$ だから$$d=1$$である。