東京大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
曲線 $C:y=x^3-x$ の点 $P(\alpha ,{\alpha }^3-\alpha )$ における接線の傾きは $3{\alpha }^2-1$ である。

まず $3{\alpha }^2-1=0$ の場合を考える。このとき接線は水平であり、法線 $l$ は直線 $x=\alpha$ である。曲線 $C$ 上で $x=\alpha$ を満たす点は $P$ だけなので、相異なる3点で交わることはない。したがってこの場合は除かれる。

以下、$3{\alpha }^2-1\mathrm{\ne }0$ とする。法線 $l$ の傾きは $-\frac{1}{3{\alpha }^2-1}$ であるから、$l$ の方程式は $$y-({\alpha }^3-\alpha )=-\frac{x-\alpha }{3{\alpha }^2-1}$$ である。曲線 $C$ との交点の $x$ 座標は $$x^3-x-({\alpha }^3-\alpha )=-\frac{x-\alpha }{3{\alpha }^2-1}$$ を満たす。左辺は $$x^3-{\alpha }^3-(x-\alpha )=(x-\alpha )(x^2+\alpha x+{\alpha }^2-1)$$ であるから、$$(x-\alpha )\{x^2+\alpha x+{\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1}\}=0$$ と因数分解できる。

したがって、$P$ 以外の2交点が相異なる実点になるためには、二次方程式 $$x^2+\alpha x+{\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1}=0$$ が相異なる2実根を持てばよい。その判別式を $\mathrm{\Delta }$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\Delta }}& {\displaystyle ={\alpha }^2-4({\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4-3{\alpha }^2-\frac{4}{3{\alpha }^2-1}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $z=3{\alpha }^2-1$ とおくと $\mathrm{\Delta }=3-z-\frac{4}{z}$ である。 $z>0$ のとき、相加相乗平均より $z+\frac{4}{z}\geqq 4$ であるから $$\mathrm{\Delta }=3-(z+\frac{4}{z})\leqq -1<0$$ である。よってこの場合は不適である。

一方、$z<0$ のときは $-z>0$ かつ $-4\mathrm{/}z>0$ なので $\mathrm{\Delta }=3-z-\frac{4}{z}>0$ である。このとき ${\alpha }^2<1\mathrm{/}3$ であり、二次式に $x=\alpha$ を代入すると $$3{\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1}=z+\frac{1}{z}$$ となる。$-1\leqq z<0$ なのでこれは0ではない。したがって残り2根は $\alpha$ とも異なる。

以上より、求める範囲は $$-\frac{1}{\sqrt{3}}<\alpha <\frac{1}{\sqrt{3}}$$ である。

(2) $\beta ,\gamma$ は $$x^2+\alpha x+{\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1}=0$$ の2解である。したがって解と係数の関係より$$\beta +\gamma =-\alpha ,\beta \gamma ={\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1}$$である。ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\beta }^2+\beta \gamma +{\gamma }^2-1}& {\displaystyle =(\beta +\gamma {)}^2-\beta \gamma -1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\alpha }^2-({\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1})-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{1}{3{\alpha }^2-1}\mathrm{.}}\end{array}$$(1)の範囲では $3{\alpha }^2-1\mathrm{\ne }0$ であるから ${\beta }^2+\beta \gamma +{\gamma }^2-1\mathrm{\ne }0$ である。

(3)
(2)より $$\frac{1}{{\beta }^2+\beta \gamma +{\gamma }^2-1}=-(3{\alpha }^2-1)=1-3{\alpha }^2$$ である。したがって $$u=4{\alpha }^3+1-3{\alpha }^2=4{\alpha }^3-3{\alpha }^2+1$$ である。 $g(x)=4x^3-3x^2+1$ とおく。$x$ の範囲は $$-\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}$$ である。微分すると $g^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-6x=6x(2x-1)$ であるから、増減は$$(-\frac{1}{\sqrt{3}},0)\text{で増加},(0,\frac{1}{2})\text{で減少},(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{3}})\text{で増加}$$である。

値を確認すると$$\underset{x\to -1\mathrm{/}\sqrt{3}+0}{\lim }g(x)=4(-\frac{1}{3\sqrt{3}})-3\cdot \frac{1}{3}+1=-\frac{4}{3\sqrt{3}},$$また$$g(0)=1,g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4},\underset{x\to 1\mathrm{/}\sqrt{3}-0}{\lim }g(x)=\frac{4}{3\sqrt{3}}$$である。左端は開区間の端点なので値 $-\frac{4}{3\sqrt{3}}$ はとらない。一方、$x=0$ は範囲内に含まれるので最大値 $1$ はとる。

したがって $u$ のとりうる値の範囲は $$-\frac{4}{3\sqrt{3}}<u\leqq 1$$ である。

交点方程式を $x-\alpha$ で割り、残る2次式の判別式を $z=3{\alpha }^2-1$ で因数評価する。(2)は解と係数、(3)は $u$ を $\alpha$ の3次関数へ戻し、開区間の端点を区別して値域を決める。

(1)
$3{\alpha }^2-1=0$ では法線が鉛直線 $x=\alpha$ となり、交点は $P$ だけなので除く。そうでないとき、法線と曲線の交点方程式は$$(x-\alpha )\{x^2+\alpha x+{\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1}\}=0.$$$z=3{\alpha }^2-1$ とおくと、括弧内の2次式の判別式は$$\mathrm{\Delta }=3-z-\frac{4}{z}=-\frac{z^2-3z+4}{z}\mathrm{.}$$$$z^2-3z+4=(z-\frac{3}{2}{)}^2+\frac{7}{4}>0$$ だから、$\mathrm{\Delta }>0$ は $z<0$ と同値である。すなわち$$-\frac{1}{\sqrt{3}}<\alpha <\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$この範囲では $-1\leqq z<0$ で、2次式へ $x=\alpha$ を代入した値は $z+1\mathrm{/}z<0$ だから、残り2根は $\alpha$ とも異なる。

(2)
残り2根を $\beta ,\gamma$ とすると$$\beta +\gamma =-\alpha ,\beta \gamma ={\alpha }^2-1+\frac{1}{3{\alpha }^2-1}\mathrm{.}$$よって$${\beta }^2+\beta \gamma +{\gamma }^2-1=(\beta +\gamma {)}^2-\beta \gamma -1=-\frac{1}{3{\alpha }^2-1}\mathrm{\ne }0.$$(3)
したがって$$u=4{\alpha }^3-(3{\alpha }^2-1)=4{\alpha }^3-3{\alpha }^2+1=:g(\alpha )\mathrm{.}$$$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=6x(2x-1)$$より、$(-1\mathrm{/}\sqrt{3},0)$ で増加、$(0,1\mathrm{/}2)$ で減少、$(1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}\sqrt{3})$ で増加する。値は$$\underset{x\to -1\mathrm{/}\sqrt{3}+0}{\lim }g(x)=-\frac{4}{3\sqrt{3}},g(0)=1,g(1\mathrm{/}2)=\frac{3}{4},\underset{x\to 1\mathrm{/}\sqrt{3}-0}{\lim }g(x)=\frac{4}{3\sqrt{3}}\mathrm{.}$$左端は含まず $x=0$ は含むので$$-\frac{4}{3\sqrt{3}}<u\leqq 1$$である。