問題
を原点とする座標平面上で考える。0以上の整数に対して，ベクトルを
と定める。投げたとき表と裏がどちらもの確率で出るコインを回投げて，座標平面上に点を以下の規則(i)，(ii)に従って定める。
(i) はにある。
(ii) を1以上以下の整数とする。が定まったとし，を次のように定める。
● 回目のコイン投げで表が出た場合，
によりを定める。ただし，は1回目から回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。
● 回目のコイン投げで裏が出た場合，をと定める。
(1) とする。がにある確率を求めよ。
(2) とする。がにあり，かつ，表が90回，裏が8回出る確率を求めよ。
方針
解法1
裏が出るたびに進む方向が次の へ切り替わり、表が出たときだけ移動する。そこで、裏で表の列を区切り、裏がすでに 回出ている間に出る表の回数を とおく。位置ベクトルは であり、 と から、3方向の合計歩数が等しいことが原点復帰の必要十分条件になる。あとは各方向に属するブロックの非負整数解を数える。
解法2
3方向の合計歩数を とし、ベクトルの各座標を直接比較して原点復帰が と同値であることを示す。裏で区切られる表の連続回数を弱い組合せとして数える。
解答
解法1
裏が合計 回出たとする。裏がすでに 回出ている間に出た表の回数を とおく。ここで であり、 は0以上の整数である。このとき最終位置は で表される。
また
である。3方向ごとの表の回数を
とおくと
である。 と は平行でないので、上のベクトルが になることは と同値である。
(1)
のとき、原点に戻るには表の総数が3の倍数でなければならない。したがって表の回数は または である。
表が0回のときは、5回すべて裏であり、これは1通りである。
表が3回のときは裏が2回である。ブロックは の3個で、原点復帰条件は である。したがって出方は の1通りである。ただし は表、 は裏を表す。
有利な出方は合計 通りである。全事象は 通りなので、求める確率は である。
(2)
表が90回、裏が8回出るとする。このときブロックは の9個である。原点に戻るためには3方向に30回ずつ進む必要があるから である。
それぞれの式について、3個の非負整数の和が30となる解の個数は である。3つの式は互いに別々の変数を含むので、条件を満たす出方は 通りである。
コイン投げ全体の出方は 通りであり、上の数え上げでは表90回・裏8回という条件もすでに満たしている。したがって求める確率は である。
解法2
各方向へ進んだ回数を とすると、最終位置は
したがって原点復帰の必要十分条件は である。
(1)
表の総数は3の倍数で、 では0回または3回。0回は の1通り。3回なら各方向1回ずつ必要で、方向は裏のたびにのみ変わるから
の1通りに限る。よって確率は
(2)
8回の裏で表の列を区切ると、9個の表の連続回数 ができる。方向ごとに
各式の非負整数解は 通りで、表90回・裏8回の並びとこの9数は一対一に対応する。したがって
である。