東京大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

裏が合計 $q$ 回出たとする。裏がすでに $j$ 回出ている間に出た表の回数を $c_j$ とおく。ここで $j=0,1,\dots ,q$ であり、$c_j$ は0以上の整数である。このとき最終位置は $$\overrightarrow{O{X}_N}=\sum _{j=0}^q{c}_j\overrightarrow{v_j}$$ で表される。

また$$\overrightarrow{v_{j+3}}=\overrightarrow{v_j},\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{0}$$である。3方向ごとの表の回数を$$C_0=\sum _{j\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)}{c}_j,C_1=\sum _{j\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)}{c}_j,C_2=\sum _{j\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)}{c}_j$$とおくと$$\overrightarrow{O{X}_N}=C_0\overrightarrow{v_0}+C_1\overrightarrow{v_1}+C_2\overrightarrow{v_2}$$である。$\overrightarrow{v_0}$ と $\overrightarrow{v_1}$ は平行でないので、上のベクトルが $\overrightarrow{0}$ になることは $C_0=C_1=C_2$ と同値である。

(1) $N=5$ のとき、原点に戻るには表の総数が3の倍数でなければならない。したがって表の回数は $0$ または $3$ である。

表が0回のときは、5回すべて裏であり、これは1通りである。

表が3回のときは裏が2回である。ブロックは $c_0,c_1,c_2$ の3個で、原点復帰条件は $c_0=c_1=c_2=1$ である。したがって出方は $HTHTH$ の1通りである。ただし $H$ は表、$T$ は裏を表す。

有利な出方は合計 $1+1=2$ 通りである。全事象は $2^5$ 通りなので、求める確率は $\frac{2}{2^5}=\frac{1}{16}$ である。

(2)
表が90回、裏が8回出るとする。このときブロックは $c_0,c_1,\dots ,c_8$ の9個である。原点に戻るためには3方向に30回ずつ進む必要があるから $$c_0+c_3+c_6=30,c_1+c_4+c_7=30,c_2+c_5+c_8=30$$ である。

それぞれの式について、3個の非負整数の和が30となる解の個数は $${}_{30+3-1}{\mathrm{C}}_{3-1}={}_{32}{\mathrm{C}}_2$$ である。3つの式は互いに別々の変数を含むので、条件を満たす出方は $({}_{32}{\mathrm{C}}_2{)}^3$ 通りである。

コイン投げ全体の出方は $2^{98}$ 通りであり、上の数え上げでは表90回・裏8回という条件もすでに満たしている。したがって求める確率は $\frac{({}_{32}{\mathrm{C}}_2{)}^3}{2^{98}}$ である。

3方向の合計歩数を $C_0,C_1,C_2$ とし、ベクトルの各座標を直接比較して原点復帰が $C_0=C_1=C_2$ と同値であることを示す。裏で区切られる表の連続回数を弱い組合せとして数える。

$${\mathit{v}}_0=(1,0),{\mathit{v}}_1=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),{\mathit{v}}_2=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})\mathrm{.}$$各方向へ進んだ回数を $C_0,C_1,C_2$ とすると、最終位置は$$(C_0-\frac{C_1+C_2}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}(C_1-C_2))\mathrm{.}$$したがって原点復帰の必要十分条件は $C_0=C_1=C_2$ である。

(1)
表の総数は3の倍数で、$N=5$ では0回または3回。0回は $TTTTT$ の1通り。3回なら各方向1回ずつ必要で、方向は裏のたびにのみ変わるから$$HTHTH$$の1通りに限る。よって確率は$$\frac{2}{2^5}=\frac{1}{16}\mathrm{.}$$(2)
8回の裏で表の列を区切ると、9個の表の連続回数 $c_0,\dots ,c_8$ ができる。方向ごとに$$c_0+c_3+c_6=30,c_1+c_4+c_7=30,c_2+c_5+c_8=30.$$各式の非負整数解は ${}_{32}{\mathrm{C}}_2$ 通りで、表90回・裏8回の並びとこの9数は一対一に対応する。したがって$$\frac{({}_{32}{\mathrm{C}}_2{)}^3}{2^{98}}$$である。