問題
を実数とし，座標平面上の点を中心とする半径1の円の周をとする。
(1) が，不等式の表す領域に含まれるようなの範囲を求めよ。
(2) は(1)で求めた範囲にあるとする。のうちかつを満たす部分をとする。上の点に対し，点でのの接線が放物線によって切り取られてできる線分の長さをとする。となる上の相異なる2点，が存在するようなの範囲を求めよ。
方針
解法1（標準解法）
(1) は円全体が放物線の上側にある条件なので，円の下側の点 が常に より大きいことに直す。最大化は で1変数化する。(2) は点 ，， とおき，接線と放物線の2交点の距離を だけで表す。 と置換して 上の4次式 の増減を調べ，同じ長さを与える相異なる2点が存在する条件を導く。
別解（円周の角度媒介と接線の傾き）
円周を三角関数で媒介する。(1) は により円周上の を平方完成する。(2) は下半円上の点を と置き，接線と放物線の交点間距離を の関数として増減させる。
解答
解法1（標準解法）
(1)
円 は である。固定した に対し，円周上で最も が小さい点は である。したがって円周全体が の表す領域に含まれるための条件は すなわち である。 とおくと であり，調べる関数は である。 より， は のときである。端点とあわせて
だから最大値は である。よって必要十分条件は である。
(2)
上の点を とおく。ただし である。円 の点 における半径方向ベクトルは なので，接線は すなわち である。
この接線と放物線 の交点の 座標は の2解である。この2解を とすると，判別式より である。また接線の傾きは なので，線分の長さは である。ここで より だから
である。 とおく。 より であり， となる。これを とおくと である。 では なので，増減は の符号で決まる。
(1)より である。このとき である。また は下に凸の2次式で，頂点は であり， である。 のとき， で となるので， は単調増加であり，同じ値を相異なる2点でとらない。 のときは， かつ であるから， は一度増加し，その後減少し，再び増加する。したがって の相異なる2つの値で同じ をとる。 と 上の点 は1対1に対応するので，このとき となる相異なる2点が存在する。
よって求める範囲は である。
別解（円周の角度媒介と接線の傾き）
(1)
円周上の点を
と表す。円周全体が に含まれる条件は，すべての に対し
となることである。 とおくと
最大値は のとき である。領域の不等号が厳密なので
である。
(2)
上の点は一意に
と書ける。 とおくと，点 での接線は
この直線と の二交点の 座標の差を判別式で求め，直線の傾きも掛けると
ここで とおくと で， と は1対1に対応する。よって
微分すると
中括弧内を とおく。 より で，頂点 における値は
なら であり， は狭義単調増加となるので，同じ長さを与える異なる2点はない。これに対し
なら ， である。したがって は増加・減少・増加と変化し，極大値のすぐ下の値を相異なる2点でとる。ゆえに求める範囲は
である。