東京大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
円 $C$ は $x^2+(y-a{)}^2=1$ である。固定した $x$ に対し，円周上で最も $y$ が小さい点は $$y=a-\sqrt{1-x^2}(-1\leqq x\leqq 1)$$ である。したがって円周全体が $y>x^2$ の表す領域に含まれるための条件は $$a-\sqrt{1-x^2}>x^2(-1\leqq x\leqq 1)$$ すなわち $$a>x^2+\sqrt{1-x^2}(-1\leqq x\leqq 1)$$ である。 $u=x^2$ とおくと $0\leqq u\leqq 1$ であり，調べる関数は $$F(u)=u+\sqrt{1-u}$$ である。 $$F^{\mathrm{\prime }}(u)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-u}}$$ より，$F^{\mathrm{\prime }}(u)=0$ は $$\sqrt{1-u}=\frac{1}{2},u=\frac{3}{4}$$ のときである。端点とあわせて$$F(0)=1,F(1)=1,F\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$$だから最大値は $5\mathrm{/}4$ である。よって必要十分条件は $a>\frac{5}{4}$ である。

(2) $S$ 上の点を $P=(u,a-v)$ とおく。ただし $$u^2+v^2=1,u\geqq 0,v>0$$ である。円 $C$ の点 $P$ における半径方向ベクトルは $(u,-v)$ なので，接線は $ux-v(y-a)=1$ すなわち $$y=\frac{u}{v}x+a-\frac{1}{v}$$ である。

この接線と放物線 $y=x^2$ の交点の $x$ 座標は $$x^2-\frac{u}{v}x-a+\frac{1}{v}=0$$ の2解である。この2解を $x_1,x_2$ とすると，判別式より $$(x_1-x_2{)}^2={\left(\frac{u}{v}\right)}^2+4a-\frac{4}{v}$$ である。また接線の傾きは $u\mathrm{/}v$ なので，線分の長さは $$L_P^2=(1+\frac{u^2}{v^2})(x_1-x_2{)}^2$$ である。ここで $u^2+v^2=1$ より $$1+\frac{u^2}{v^2}=\frac{u^2+v^2}{v^2}=\frac{1}{v^2}$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L_P^2}& {\displaystyle =\frac{1}{v^2}(\frac{u^2}{v^2}+4a-\frac{4}{v})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{v^2}(\frac{1-v^2}{v^2}+4a-\frac{4}{v})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(4a-1)v^2-4v+1}{v^4}}\end{array}$$である。 $w=1\mathrm{/}v$ とおく。$0<v\leqq 1$ より $w\geqq 1$ であり，$L_P^2=w^2(w^2-4w+4a-1)$ となる。これを $G(w)$ とおくと $G^{\mathrm{\prime }}(w)=2w(2w^2-6w+4a-1)$ である。$w\geqq 1$ では $2w>0$ なので，増減は $H(w)=2w^2-6w+4a-1$ の符号で決まる。

(1) より $a>5\mathrm{/}4$ である。このとき $H(1)=4a-5>0$ である。また $H(w)$ は下に凸の2次式で，頂点は $w=3\mathrm{/}2$ であり，$$H\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{2}-9+4a-1=4a-\frac{11}{2}$$ である。 $a\geqq 11\mathrm{/}8$ のとき，$w\geqq 1$ で $H(w)\geqq 0$ となるので，$G(w)$ は単調増加であり，同じ値を相異なる2点でとらない。 $5\mathrm{/}4<a<11\mathrm{/}8$ のときは，$H(1)>0$ かつ $H(3\mathrm{/}2)<0$ であるから，$G(w)$ は一度増加し，その後減少し，再び増加する。したがって $w\geqq 1$ の相異なる2つの値で同じ $G(w)$ をとる。$w$ と $S$ 上の点 $P$ は1対1に対応するので，このとき $L_Q=L_R$ となる相異なる2点が存在する。

よって求める範囲は $$\frac{5}{4}<a<\frac{11}{8}$$ である。

円周を三角関数で媒介する。(1) は $s=\sin \theta$ により円周上の $x^2-y$ を平方完成する。(2) は下半円上の点を $P=(\cos \theta ,a-\sin \theta )$ と置き，接線と放物線の交点間距離を $w=1\mathrm{/}\sin \theta$ の関数として増減させる。

(1)
円周上の点を$$(x,y)=(\cos \theta ,a+\sin \theta )$$と表す。円周全体が $y>x^2$ に含まれる条件は，すべての $\theta$ に対し$$a>{\cos }^2\theta -\sin \theta$$となることである。$$s=\sin \theta (-1\leqq s\leqq 1)$$ とおくと$${\cos }^2\theta -\sin \theta =1-s^2-s=\frac{5}{4}-{(s+\frac{1}{2})}^2\mathrm{.}$$最大値は $s=-1\mathrm{/}2$ のとき $5\mathrm{/}4$ である。領域の不等号が厳密なので$$a>\frac{5}{4}$$である。

(2)
$S$ 上の点は一意に$$P=(\cos \theta ,a-\sin \theta ),0<\theta \leqq \frac{\pi }{2}$$と書ける。$s=\sin \theta$ とおくと，点 $P$ での接線は$$\cos \theta x-s(y-a)=1.$$この直線と $y=x^2$ の二交点の $x$ 座標の差を判別式で求め，直線の傾きも掛けると$$L_P^2=\frac{(4a-1)s^2-4s+1}{s^4}\mathrm{.}$$ここで $w=1\mathrm{/}s$ とおくと $1\leqq w<\mathrm{\infty }$ で，$P$ と $w$ は1対1に対応する。よって$$L_P^2=G(w)=w^2(w^2-4w+4a-1)\mathrm{.}$$微分すると$$G^{\mathrm{\prime }}(w)=2w\{2w^2-6w+4a-1\}\mathrm{.}$$中括弧内を $H(w)$ とおく。$a>5\mathrm{/}4$ より
$H(1)=4a-5>0$ で，頂点 $w=3\mathrm{/}2$ における値は$$H\left(\frac{3}{2}\right)=4a-\frac{11}{2}\mathrm{.}$$$a\geqq 11\mathrm{/}8$ なら $H(w)\geqq 0(w\geqq 1)$ であり，$G$ は狭義単調増加となるので，同じ長さを与える異なる2点はない。これに対し$$\frac{5}{4}<a<\frac{11}{8}$$なら $H(1)>0$，$H(3\mathrm{/}2)<0$ である。したがって $G$ は増加・減少・増加と変化し，極大値のすぐ下の値を相異なる2点でとる。ゆえに求める範囲は$$\frac{5}{4}<a<\frac{11}{8}$$である。