東京大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
任意の点 $P(p,q)$ をとる。$P$ を通る傾き $m$ の直線を $y=m(x-p)+q$ とする。この直線と曲線 $C:y=x^3-x$ の交点の $x$ 座標は $x^3-x=m(x-p)+q$ すなわち $F(x)=x^3-(m+1)x+mp-q=0$ を満たす。 $M=m+1$ とおくと $F(x)=x^3-Mx+(M-1)p-q$ である。$M>0$ のとき、$F^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-M$ なので、$F(x)$ は $$x=\pm \sqrt{\frac{M}{3}}$$ で極値をとる。$$s=\sqrt{M\mathrm{/}3}$$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(-s)}& {\displaystyle =-s^3+Ms+(M-1)p-q=\frac{2M}{3}s+(M-1)p-q,}\\ {\displaystyle F(s)}& {\displaystyle =s^3-Ms+(M-1)p-q=-\frac{2M}{3}s+(M-1)p-q\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$\frac{2M}{3}s=\frac{2}{3\sqrt{3}}{M}^{3\mathrm{/}2}$$ であり、$(M-1)p-q$ は $M$ の1次式である。したがって $M$ を十分大きくとれば $F(-s)>0,F(s)<0$ が成り立つ。

また三次式 $F(x)$ は最高次係数が正なので $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=\mathrm{\infty }$$ である。よって中間値の定理より、$(-\mathrm{\infty },-s)$、$(-s,s)$、$(s,\mathrm{\infty })$ のそれぞれに $F(x)=0$ の解が少なくとも1つ存在する。三次方程式なので解はちょうど3つであり、互いに異なる。

したがって、点 $P$ を通り、曲線 $C$ と相異なる3点で交わる直線が存在する。

(2)
条件(ii)を満たす直線 $l$ があり、$l$ と $C$ の3交点の $x$ 座標を $\alpha <\beta <\gamma$ とする。直線を $y=ux+v$ と書くと、交点の $x$ 座標は $x^3-x=ux+v$ すなわち $x^3-(u+1)x-v=0$ の3解である。この三次方程式には $x^2$ の項がないので $\alpha +\beta +\gamma =0$ である。

曲線と直線の差は、最高次係数を比べると $$x^3-x-(ux+v)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$$ である。区間 $(\alpha ,\beta )$ ではこの値は正、区間 $(\beta ,\gamma )$ では負である。したがって2つの部分の面積が等しいことは $${\int }_{\alpha }^{\gamma }(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )dx=0$$ と同値である。

ここで $$h=\frac{\alpha +\gamma }{2},d=\frac{\gamma -\alpha }{2}>0$$ とおく。$\alpha +\beta +\gamma =0$ より $\beta =-2h$ である。$x=h+w$ とおくと、$x=\alpha$ は $w=-d$、$x=\gamma$ は $w=d$ に対応し、$$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=(w^2-d^2)(w+3h)$$ となる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\gamma }(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )dx}& {\displaystyle ={\int }_{-d}^d(w^2-d^2)(w+3h)dw}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3h{\int }_{-d}^d(w^2-d^2)dw}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3h(\frac{2d^3}{3}-2d^3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-4h{d}^3\mathrm{.}}\end{array}$$これが0で、かつ $d>0$ であるから $h=0$ である。したがって $$\alpha +\gamma =0,\beta =0$$ である。

よって3交点の $x$ 座標は、ある $t>0$ を用いて $-t,0,t$ と表される。この3点は曲線上の $(-t,-t^3+t),(0,0),(t,t^3-t)$ であり、これらを通る直線は $y=(t^2-1)x$ である。ここで $t>0$ なので傾き $t^2-1$ は $t^2-1>-1$ を満たす。

逆に、傾き $m>-1$ の原点を通る直線 $y=mx$ をとると、$m=t^2-1$ を満たす $t>0$ が存在し、上の議論により条件(ii)を満たす。

したがって条件(ii)を満たす点 $P(x,y)$ の範囲は、傾きが $-1$ より大きい原点通過直線全体の和である。式で表すと $$\{(x,y)\mid x>0,y>-x\}\cup \{(x,y)\mid x<0,y<-x\}\cup \{(0,0)\}$$ である。図示すると、境界直線 $y=-x$ は原点以外を含まず、$x>0$ 側ではその上側、$x<0$ 側ではその下側を塗る領域である。

(1) は点を通る直線の傾きを十分大きくし、交点三次式の極大・極小を異符号にする。(2)は3根 $\alpha <\beta <\gamma$ に対する符号付き全面積を根だけで直接計算し、等面積線が原点を通ることを示して、その直線族の通過範囲を図示する。

(1)
任意の $P(p,q)$ を通る直線 $y=m(x-p)+q$ と $C$ の交点は$$F(x)=x^3-(m+1)x+mp-q=0$$の解である。$$M=m+1>0,s=\sqrt{M\mathrm{/}3}$$ とおくと$$F(-s)=\frac{2}{3\sqrt{3}}{M}^{3\mathrm{/}2}+(M-1)p-q,F(s)=-\frac{2}{3\sqrt{3}}{M}^{3\mathrm{/}2}+(M-1)p-q\mathrm{.}$$$M$ を十分大きくすれば前者は正、後者は負となる。両端での極限も合わせ、中間値の定理により3区間に相異なる3根をもつ。

(2)
3交点の $x$ 座標を $\alpha <\beta <\gamma$ とすると$$\alpha +\beta +\gamma =0.$$曲線と直線の差は $(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$ であり、2面積が等しい条件は$${\int }_{\alpha }^{\gamma }(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )dx=0$$である。展開して $\beta =-\alpha -\gamma$ を代入するか、外側2根の中点へ平行移動すると$${\int }_{\alpha }^{\gamma }\cdots dx=-\frac{1}{4}(\alpha +\gamma )(\gamma -\alpha {)}^3\mathrm{.}$$$\gamma >\alpha$ だから $\alpha +\gamma =0$、さらに $\beta =0$ である。よって3根は $-t,0,t(t>0)$、対応する直線は$$y=(t^2-1)x$$で、その傾きは $-1$ より大きい。

したがって求める範囲は$$\{x>0,y>-x\}\cup \{x<0,y<-x\}\cup \{(0,0)\}\mathrm{.}$$境界 $y=-x$ と $y$ 軸は原点以外を含まない。