東京大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
$s=\sin \theta$とおく。$0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$より $$0<s<1,\cos \theta >0$$ である。

円$x^2+y^2=1$上の点$(x,y)$における接線は $x{x}_0+y{y}_0=1$ の形で表されるので，点$(x_0,y_0)$での接線の傾きは$-x_0\mathrm{/}{y}_0$である。したがって，点 $P(\cos \theta ,s),Q(-\cos \theta ,s)$ での円の接線の傾きはそれぞれ $-\frac{\cos \theta }{s},\frac{\cos \theta }{s}$ である。

放物線$C:y=a{x}^2+bx+c$の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=2ax+b$ である。$P,Q$で円と共通の接線を持つから，傾きを一致させて$$2a\cos \theta +b=-\frac{\cos \theta }{s},-2a\cos \theta +b=\frac{\cos \theta }{s}$$を得る。2式を加えると $2b=0$ より $b=0$ である。また，2式を引くと $$4a\cos \theta =-\frac{2\cos \theta }{s}$$ であり，$\cos \theta >0$だから $a=-\frac{1}{2s}$ である。

さらに，放物線は$P$を通るので $s=a{\cos }^2\theta +c$ である。${\cos }^2\theta =1-s^2$を用いると $$s=-\frac{1-s^2}{2s}+c$$ となるから，$$c=s+\frac{1-s^2}{2s}=\frac{1+s^2}{2s}$$ である。よって $$a=-\frac{1}{2s},b=0,c=\frac{1+s^2}{2s}$$ である。

(2)
(1)より放物線は $$y=-\frac{x^2}{2s}+\frac{1+s^2}{2s}=\frac{1+s^2-x^2}{2s}$$ である。$x$軸との交点は $1+s^2-x^2=0$ より $$x=\pm \sqrt{1+s^2}$$ である。

この区間で放物線は$x$軸の上側にあるから，求める面積$A$は $$A={\int }_{-\sqrt{1+s^2}}^{\sqrt{1+s^2}}\frac{1+s^2-x^2}{2s}dx$$ である。被積分関数は偶関数なので，$L=\sqrt{1+s^2}$とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle =\frac{1}{s}{\int }_0^L(L^2-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{s}{[L^{2}x-\frac{x^3}{3}]}_0^L}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{s}(L^3-\frac{L^3}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2L^3}{3s}}\end{array}$$である。したがって $$A=\frac{2(1+s^2{)}^{3\mathrm{/}2}}{3s}$$ である。

(3) $$A(s)=\frac{2(1+s^2{)}^{3\mathrm{/}2}}{3s}(0<s<1)$$ とおく。直接微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^{\mathrm{\prime }}(s)}& {\displaystyle =\frac{2}{3}\{3s(1+s^2{)}^{1\mathrm{/}2}\cdot \frac{1}{s}-(1+s^2{)}^{3\mathrm{/}2}\cdot \frac{1}{s^2}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2(1+s^2{)}^{1\mathrm{/}2}}{3s^2}(2s^2-1)}\end{array}$$である。分母と$(1+s^2{)}^{1\mathrm{/}2}$は正なので，$A^{\mathrm{\prime }}(s)$の符号は$2s^2-1$の符号で決まる。したがって$A(s)$は$$0<s<\frac{1}{\sqrt{2}}\text{で減少},\frac{1}{\sqrt{2}}<s<1\text{で増加}$$する。よって最小値は$s=\frac{1}{\sqrt{2}}$でとる。

このとき$$A_{\min }=\frac{2{(1+\frac{1}{2})}^{3\mathrm{/}2}}{3\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{2\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{3\mathrm{/}2}\cdot \sqrt{2}}{3}=\sqrt{3}$$である。ゆえに $A\geqq \sqrt{3}$ である。

等号を与える $s=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ のとき，円，放物線，面積 $A$ の位置関係は次の図のようになる。

青い部分の横幅は $2\sqrt{1+s^2}$ であり，放物線の偶対称性を用いた積分区間と一致する。

(1) (2)で得た面積式を出発点にし，微分を使わずに不等式を証明する。$A>0$なので2乗し，$u=s^2$と置いて$A^2-3$の分子を因数分解する。等号条件も因数から直ちに読む。

(1) (2) 共通接線の傾きの一致と点$P$を通る条件から$$a=-\frac{1}{2s},b=0,c=\frac{1+s^2}{2s},$$したがって$$A=\frac{2(1+s^2{)}^{3\mathrm{/}2}}{3s}(0<s<1)$$を得る。

(3) $A>0$であるから，$A\geqq \sqrt{3}$は$A^2-3\geqq 0$と同値である。$u=s^2$とおくと$0<u<1$であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^2-3}& {\displaystyle =\frac{4(1+s^2{)}^3}{9s^2}-3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4(1+u{)}^3-27u}{9u}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(2u-1{)}^2(u+4)}{9u}\geqq 0.}\end{array}$$分母$9u$と$u+4$は正であるから，不等号は確かに成り立つ。よって$A\geqq \sqrt{3}$である。等号は$2u-1=0$，すなわち$s=1\mathrm{/}\sqrt{2}$のときに成立する。