東京大学 2024年度
文系数学 第1問

解答

解法1（接線条件・積分・微分）

(1)

$s=\sin \theta$とおく。$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$より $0<s<1,\cos \theta >0$ である。

円$x^2+y^2=1$上の点$(x,y)$における接線は $x{x}_0+y{y}_0=1$ の形で表されるので，点$(x_0,y_0)$での接線の傾きは$-x_0/y_0$である。したがって，点 $P(\cos \theta ,s),Q(-\cos \theta ,s)$ での円の接線の傾きはそれぞれ $-\frac{\cos \theta }{s},\frac{\cos \theta }{s}$ である。

放物線$C:y=a{x}^2+bx+c$の導関数は $y^{\prime }=2ax+b$ である。$P,Q$で円と共通の接線を持つから，傾きを一致させて

を得る。2式を加えると $2b=0$ より $b=0$ である。また，2式を引くと $4a\cos \theta =-\frac{2\cos \theta }{s}$ であり，$\cos \theta >0$だから $a=-\frac{1}{2s}$ である。

さらに，放物線は$P$を通るので $s=a{\cos }^2\theta +c$ である。${\cos }^2\theta =1-s^2$を用いると $s=-\frac{1-s^2}{2s}+c$ となるから，$c=s+\frac{1-s^2}{2s}=\frac{1+s^2}{2s}$ である。よって $a=-\frac{1}{2s},b=0,c=\frac{1+s^2}{2s}$ である。

(2)

(1)より放物線は $y=-\frac{x^2}{2s}+\frac{1+s^2}{2s}=\frac{1+s^2-x^2}{2s}$ である。$x$軸との交点は $1+s^2-x^2=0$ より $x=\pm \sqrt{1+s^2}$ である。

この区間で放物線は$x$軸の上側にあるから，求める面積$A$は $A={\int }_{-\sqrt{1+s^2}}^{\sqrt{1+s^2}}\frac{1+s^2-x^2}{2s}dx$ である。被積分関数は偶関数なので，$L=\sqrt{1+s^2}$とおくと

である。したがって $A=\frac{2(1+s^2{)}^{3/2}}{3s}$ である。

(3)

$A(s)=\frac{2(1+s^2{)}^{3/2}}{3s}(0<s<1)$ とおく。直接微分すると

である。分母と$(1+s^2{)}^{1/2}$は正なので，$A^{\prime }(s)$の符号は$2s^2-1$の符号で決まる。したがって$A(s)$は

する。よって最小値は$s=\frac{1}{\sqrt{2}}$でとる。

このとき

である。ゆえに $A\geqq \sqrt{3}$ である。

等号を与える $s=1/\sqrt{2}$ のとき，円，放物線，面積 $A$ の位置関係は次の図のようになる。

青い部分の横幅は $2\sqrt{1+s^2}$ であり，放物線の偶対称性を用いた積分区間と一致する。

別解（(3)を因数分解だけで示す）

(1)(2)

共通接線の傾きの一致と点$P$を通る条件から

したがって

を得る。

(3)

$A>0$であるから，$A\geqq \sqrt{3}$は$A^2-3\geqq 0$と同値である。$u=s^2$とおくと$0<u<1$であり，

分母$9u$と$u+4$は正であるから，不等号は確かに成り立つ。よって$A\geqq \sqrt{3}$である。等号は$2u-1=0$，すなわち$s=1/\sqrt{2}$のときに成立する。