東大 2024年度理系数学第5問｜問題・解答・解説

方針

$x$ を固定し，三角形 $A B D$ と平面 $x = 一定$ の交わりを $y z$ 平面内の線分として見る。この線分を $x$ 軸のまわりに回転すると，断面は中心が原点の円板または輪になるため，線分上の点の $y^{2} + z^{2}$ の最大値と最小値を求めればよい。 $0 ≦ x ≦ 1 / 2$ では断面端点が $A B$ と $B D$ 上， $1 / 2 ≦ x ≦ 1$ では $A B$ と $A D$ 上にある。線分はいずれも $y + z = 1 - x$ 上にあり，原点からの垂線の足が線分内に入るかどうかが $x = 1 / 3$ で変わる。断面積を区間ごとに積分する。

解答

$D$ は線分 $A C$ の中点であるから $D (\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ である。三角形 $A B D$ を，平面 $x = 一定$ で切った断面を考える。

1. $0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}$ の場合。
この範囲では，断面線分の一方の端点は辺 $A B$ 上にあり，その $y z$ 座標は $(y, z) = (1 - x, 0)$ である。もう一方の端点は辺 $B D$ 上にあり， $B (0, 1, 0)$ から $D (\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ へ向かう比を用いると $(y, z) = (1 - 2 x, x)$ である。どちらの点も $y + z = 1 - x$ 上にある。

この線分を $x$ 軸のまわりに回転させると，断面積は $π {R^{2} - r^{2}}$ の形になる。ここで $R^{2}$ は線分上の $y^{2} + z^{2}$ の最大値， $r^{2}$ は最小値である。

最大値は端点 $(1 - x, 0)$ でとる。実際，もう一方の端点での値は $(1 - 2 x)^{2} + x^{2}$ であり， $(1 - x)^{2} - {(1 - 2 x)^{2} + x^{2}} = 2 x - 4 x^{2} = 2 x (1 - 2 x) ≧ 0$ だからである。よって $R^{2} = (1 - x)^{2}$ である。

最小値は，直線 $y + z = 1 - x$ 上で原点に最も近い点を考える。垂線の足は $(\frac{1 - x}{2}, \frac{1 - x}{2})$ である。この点が断面線分上にあるには， $z$ 座標が $0$ から $x$ までの間にあればよいので $\frac{1 - x}{2} ≦ x$ すなわち $x ≧ \frac{1}{3}$ が必要十分である。

したがって， $0 ≦ x ≦ \frac{1}{3}$ では最小値は端点 $(1 - 2 x, x)$ でとり， $r^{2} = (1 - 2 x)^{2} + x^{2}$ である。一方， $\frac{1}{3} ≦ x ≦ \frac{1}{2}$ では垂線の足で最小値をとり， $r^{2} = 2 {(\frac{1 - x}{2})}^{2} = \frac{(1 - x)^{2}}{2}$ である。

2. $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1$ の場合。
この範囲では，断面線分の端点は辺 $A B$ 上の $(y, z) = (1 - x, 0)$ と，辺 $A D$ 上の $(y, z) = (0, 1 - x)$ である。やはり線分は $y + z = 1 - x$ 上にあり，両端点の原点からの距離は等しい。よって $R^{2} = (1 - x)^{2}$ である。また垂線の足 $(\frac{1 - x}{2}, \frac{1 - x}{2})$ はこの線分上にあるので， $r^{2} = \frac{(1 - x)^{2}}{2}$ である。

以上より，求める体積 $V$ は $\begin{aligned} V & = π \int_{0}^{1 / 3} [(1 - x)^{2} - {(1 - 2 x)^{2} + x^{2}}] d x \\ + π \int_{1 / 3}^{1} [(1 - x)^{2} - \frac{(1 - x)^{2}}{2}] d x \end{aligned}$ である。第1の被積分関数は $(1 - x)^{2} - {(1 - 2 x)^{2} + x^{2}} = 2 x - 4 x^{2}$ であるから， $\begin{aligned} V & = π \int_{0}^{1 / 3} (2 x - 4 x^{2}) d x + \frac{π}{2} \int_{1 / 3}^{1} (1 - x)^{2} d x \\ = π {[x^{2} - \frac{4}{3} x^{3}]}_{0}^{1 / 3} + \frac{π}{2} {[- \frac{(1 - x)^{3}}{3}]}_{1 / 3}^{1} \\ = π (\frac{1}{9} - \frac{4}{81}) + \frac{π}{2} \cdot \frac{8}{81} \\ = π \cdot \frac{5}{81} + π \cdot \frac{4}{81} \\ = \frac{π}{9} \end{aligned}$ である。

例えば $x = 2 / 5$ の断面を $y z$ 平面で見ると，外半径と内半径は次の図のように決まる。

$x ≧ 1 / 3$ では垂線の足 $H$ が線分上に入るため，端点までの距離ではなく $O H$ が内半径になる。この切り替わりが積分区間を分ける理由である。

総評

三角形を $x$ 一定の平面で切り，断面線分を $x$ 軸回転してできる円環の面積を積分する問題。難度7，計算量7，想定時間30分。線分上の $y^{2} + z^{2}$ の最大・最小が外半径・内半径となる。垂線の足が線分内に入る $x = 1 / 3$ が本質的な区切りである。

【出典確認】東京大学公式「令和6年度前期日程第2次学力試験・理科数学」PDF第12ページを原寸画像で照合し， $A, B, C$ の座標， $D$ が $A C$ の中点，三角形 $A B D$ の周と内部を回転することを確認した。公式解答・採点講評は公表されていない。

【独立検算】 3区間 $0 ≦ x ≦ 1 / 3, 1 / 3 ≦ x ≦ 1 / 2, 1 / 2 ≦ x ≦ 1$ で断面線分の端点と原点からの距離を再計算した。被積分関数を有理数係数で厳密積分し，第1項 $5 π / 81$ ，第2項 $4 π / 81$ ，合計 $π / 9$ を確認した。

出典: 東京大学令和6年度前期日程第2次学力試験理科数学（公式問題PDF）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

方針

解答

総評

東京大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系数学第5問