問題
を正の実数とする。座標平面において，放物線上の点におけるの接線と直交し，を通る直線をとおく。との交点のうち，と異なる点をとおく。
(1) の座標を求めよ。
におけるの接線と直交し，を通る直線をとおく。との交点のうち，と異なる点をとおく。
(2) がすべての正の実数を動くとき，の座標の最小値を求めよ。
出典：東京大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
解法1（法線の再交点写像と微分）
放物線 の における法線を一般形で求める。法線と放物線を連立すると，交点の一方 が因数として出るので，もう一方の 座標は写像 で表せる。この写像を から ，さらに から へ2回使う。最後は の1変数関数を微分し，端で発散することと符号変化を確認して最小値を決める。
解法2（恒等式で最小化）
(1)で法線と放物線の再交点の対応 を得る。(2)では2回目の座標を微分せず、 とおいた差を因数分解して最小値と等号条件を同時に出す。
解答
解法1（法線の再交点写像と微分）
(1) 点 の 座標
放物線 上の一般の点 を考える。接線の傾きは であるから、その法線は
である。これと を連立すると、
となる。左辺を因数分解して整理すれば、
を得る。したがって、元の点とは異なる交点の 座標は である。ここで とすればよい。
(2) 点 の 座標の最小値
とおく。点 の 座標を とすれば、点 の 座標 は である。
これを微分すると、
において、分母と は正である。よって の符号は の符号に一致する。
したがって は で減少し、 で増加する。ゆえに のとき最小となる。
最小値は である。
解法2（恒等式で最小化）
(1)
における放物線 の法線は
である。 を代入すると
だから、もう一つの交点の 座標は
である。よって の 座標は
である。
(2)
とおけば、 の 座標 は
である。 とおくと
であり、
が成り立つ。 で分母は正であり、
だから である。等号は 、すなわち のときに成り立つ。したがって最小値は
である。