東京大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
まず，放物線 $C:y=x^2$ 上の一般の点 $(u,u^2)$ を考える。ただし，今回最初に用いる $u=a$ は正である。$y=x^2$ の $x=u$ における接線の傾きは $2u$ であるから，その接線に直交する直線，すなわち法線の傾きは $-\frac{1}{2u}$ である。したがって法線は $$y-u^2=-\frac{x-u}{2u}$$ と表せる。

この直線と放物線 $y=x^2$ の交点を求めるため，$y=x^2$ を代入すると $$x^2-u^2=-\frac{x-u}{2u}$$ である。左辺を因数分解し，両辺を整理すると $$(x-u)(x+u)=-\frac{x-u}{2u}$$ すなわち $$(x-u)(x+u+\frac{1}{2u})=0$$ となる。交点の一つはもとの点 $(u,u^2)$ であり，これは $x=u$ に対応する。もう一つの交点の $x$ 座標は $$x=-u-\frac{1}{2u}$$ である。

いま $u=a$ とすれば，$Q$ の $x$ 座標は $-a-\frac{1}{2a}$ である。

(2)
(1)で得た対応を $$\phi (u)=-u-\frac{1}{2u}$$ と書く。すると $Q$ の $x$ 座標は $$q=\phi (a)=-a-\frac{1}{2a}=-\frac{2a^2+1}{2a}$$ である。$a>0$ なので $q<0$ であり，$Q$ における接線の傾き $2q$ は0ではない。したがって同じ法線の計算を $u=q$ に対して使うことができる。

よって $R$ の $x$ 座標を $X$ とおくと $$X=\phi (q)=-q-\frac{1}{2q}$$ である。ここで $$-q=a+\frac{1}{2a},2q=-\frac{2a^2+1}{a}$$ だから $$-\frac{1}{2q}=\frac{a}{2a^2+1}$$ である。したがって $$X(a)=a+\frac{1}{2a}+\frac{a}{2a^2+1}(a>0)$$ を最小にすればよい。

微分すると $$X^{\mathrm{\prime }}(a)=1-\frac{1}{2a^2}+\frac{1-2a^2}{(2a^2+1{)}^2}$$ である。分母をそろえると $$X^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{(2a^2-1)(4a^4+2a^2+1)}{2a^2(2a^2+1{)}^2}$$ となる。$a>0$ では $$2a^2(2a^2+1{)}^2>0,4a^4+2a^2+1>0$$ であるから，$X^{\mathrm{\prime }}(a)$ の符号は $2a^2-1$ の符号で決まる。つまり$$0<a<\frac{1}{\sqrt{2}}\text{ で }{X}^{\mathrm{\prime }}(a)<0,a>\frac{1}{\sqrt{2}}\text{ で }{X}^{\mathrm{\prime }}(a)>0$$である。さらに $a\to 0+$ のとき $1\mathrm{/}(2a)\to \mathrm{\infty }$，$a\to \mathrm{\infty }$ のとき $a\to \mathrm{\infty }$ なので，この符号変化で得られる値が全体の最小値である。

したがって最小は $$a=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ のときであり，その値は$$X\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2\cdot (1\mathrm{/}\sqrt{2})}+\frac{1\mathrm{/}\sqrt{2}}{2\cdot (1\mathrm{/}2)+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$$である。

(1) で法線と放物線の再交点の対応 $\phi (u)=-u-\frac{1}{2u}$ を得る。(2)では2回目の座標を微分せず、$t=\sqrt{2}a$ とおいた差を因数分解して最小値と等号条件を同時に出す。

(1)
$x=u$ における放物線 $y=x^2$ の法線は$$y-u^2=-\frac{x-u}{2u}$$である。$y=x^2$ を代入すると$$(x-u)(x+u+\frac{1}{2u})=0$$だから、もう一つの交点の $x$ 座標は$$\phi (u)=-u-\frac{1}{2u}$$である。よって $Q$ の $x$ 座標は$$-a-\frac{1}{2a}$$である。

(2)
$q=\phi (a)<0$ とおけば、$R$ の $x$ 座標 $X$ は$$X=\phi (q)=a+\frac{1}{2a}+\frac{a}{2a^2+1}$$である。$t=\sqrt{2}a>0$ とおくと$$\sqrt{2}X=t+\frac{1}{t}+\frac{t}{t^2+1}$$であり、$$t+\frac{1}{t}+\frac{t}{t^2+1}-\frac{5}{2}=\frac{(t-1{)}^2(2t^2-t+2)}{2t(t^2+1)}$$が成り立つ。$t>0$ で分母は正であり、$$2t^2-t+2=2{(t-\frac{1}{4})}^2+\frac{15}{8}>0$$だから $\sqrt{2}X\geqq 5\mathrm{/}2$ である。等号は $t=1$、すなわち $a=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ のときに成り立つ。したがって最小値は$$\frac{5\sqrt{2}}{4}$$である。