東京大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

一般の頂角 $\theta$ について考える。$$\alpha =\frac{\theta }{2},\overline{AM}=\cos \alpha ,\overline{BM}=\overline{CM}=\sin \alpha$$とおく。ここで $M$ は底辺 $BC$ の中点である。

1. 辺全体を覆う半径 $s$

辺 $AB$ の中点は $A,B$ から距離 $1\mathrm{/}2$ で、$C$ からの距離も $1\mathrm{/}2$ 以上である。よって $s\geqq 1\mathrm{/}2$ が必要であり、辺 $AB,AC$ は半径 $1\mathrm{/}2$ の端点の円で覆える。

$M$ から $C$ の方向へ距離 $x$ だけ進んだ底辺上の点を $X$ とすると$$0\leqq x\leqq \sin \alpha ,XC=\sin \alpha -x,XA=\sqrt{x^2+{\cos }^2\alpha }$$である。$XB\geqq XC$ なので、$X$ から最も近い頂点までの距離は $XC$ と $XA$ の小さい方である。

$0<\alpha \leqq \pi \mathrm{/}4$ では、最大は $x=0$ での $\sin \alpha$ である。$\pi \mathrm{/}4<\alpha <\pi \mathrm{/}2$ では、増加する $XA$ と減少する $XC$ が等しい点で最大となる。$$\sin \alpha -x=\sqrt{x^2+{\cos }^2\alpha }$$を解くと$$x=\frac{{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }{2\sin \alpha },XC=\frac{1}{2\sin \alpha }$$である。これと $1\mathrm{/}2$ を比較すると$$s=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}& (0<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}),\\ \sin \alpha & ({\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}),\\ {\displaystyle \frac{1}{2\sin \alpha }}& ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\end{array}$$である。

2. 三角形全体を覆う半径 $t$

三角形を辺の垂直二等分線で分け、各点を最も近い頂点に対応させる。各分割領域で、対応する頂点から最も遠い候補はその領域の頂点だけを調べればよい。

$0<\alpha \leqq \pi \mathrm{/}4$ では外心 $O$ が三角形の内部または底辺上にあり、3頂点からの距離は外接円半径$$R=\frac{BC}{2\sin \theta }=\frac{2\sin \alpha }{2\sin 2\alpha }=\frac{1}{2\cos \alpha }$$である。これは辺の中点での距離 $1\mathrm{/}2$ 以上であり、また $R\geqq \sin \alpha$ である。したがって最も覆いにくい点は $O$ で、$t=R$ である。

$\pi \mathrm{/}4<\alpha <\pi \mathrm{/}2$ では外心は三角形の外にある。三角形内の最寄り頂点の領域分割では、最大距離は底辺上の $XA=XC$ となる点での$$\frac{1}{2\sin \alpha }$$である。辺の中点での距離 $1\mathrm{/}2$ よりも小さくないので、これが三角形全体の最大値である。よって$$t=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2\cos \alpha }}& (0<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}),\\ {\displaystyle \frac{1}{2\sin \alpha }}& ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\end{array}$$である。

(1) $\theta =\pi \mathrm{/}3$、$\alpha =\pi \mathrm{/}6$ だから$$s=\frac{1}{2},t=\frac{1}{2\cos (\pi \mathrm{/}6)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$である。

(2) $\theta =2\pi \mathrm{/}3$、$\alpha =\pi \mathrm{/}3$ だから$$s=t=\frac{1}{2\sin (\pi \mathrm{/}3)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$である。

(3) $\alpha =\theta \mathrm{/}2$ を戻すと$$\{\begin{array}{ll}0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}:& s={\displaystyle \frac{1}{2}},t={\displaystyle \frac{1}{2\cos (\theta \mathrm{/}2)}},\\ {\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}:& s=\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}},t={\displaystyle \frac{1}{2\cos (\theta \mathrm{/}2)}},\\ {\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <\pi :& s=t={\displaystyle \frac{1}{2\sin (\theta \mathrm{/}2)}}\end{array}$$である。境界 $\theta =\pi \mathrm{/}3,\pi \mathrm{/}2$ でも両側の式は一致する。