東京大学 2025年度文系数学第2問解答・解説

問題

平面上で $A B = A C = 1$ である二等辺三角形 $A B C$ を考える。正の実数 $r$ に対し， $A, B, C$ それぞれを中心とする半径 $r$ の円3つを合わせた領域を $D_{r}$ とする。ただし，この問いでは，三角形と円は周とその内部からなるものとする。辺 $A B, A C, B C$ がすべて $D_{r}$ に含まれるような最小の $r$ を $s$ ，三角形 $A B C$ が $D_{r}$ に含まれるような最小の $r$ を $t$ と表す。

(1) $∠ B A C = \frac{π}{3}$ のとき， $s$ と $t$ を求めよ。

(2) $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ のとき， $s$ と $t$ を求めよ。

(3) $0 < θ < π$ を満たす $θ$ に対して， $∠ B A C = θ$ のとき， $s$ と $t$ を $θ$ を用いて表せ。

出典：東京大学 2025年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

$α = θ /2$ とき、底辺半分の長さは $sin α$ 、高さは $cos α$ である。辺を覆う半径 $s$ は、各辺上の点から3頂点のうち最も近いものまでの距離の最大値である。底辺上で、底辺端点までの距離と $A$ までの距離を比較する。三角形全体の $t$ は垂直二等分線による最寄り頂点の領域分割から、鋭角・直角では外心、鈍角では底辺上の等距離点で決める。

解答

一般の頂角 $θ$ について考える。

α = \frac{θ}{2}, \overline{A M} = cos α, \overline{B M} = \overline{C M} = sin α

とおく。ここで $M$ は底辺 $B C$ の中点である。

1. 辺全体を覆う半径 $s$

辺 $A B$ の中点は $A, B$ から距離 $1/2$ で、 $C$ からの距離も $1/2$ 以上である。よって $s ≧ 1/2$ が必要であり、辺 $A B, A C$ は半径 $1/2$ の端点の円で覆える。

$M$ から $C$ の方向へ距離 $x$ だけ進んだ底辺上の点を $X$ とすると

0 ≦ x ≦ sin α, X C = sin α - x, X A = x^{2} + cos^{2} α

である。 $X B ≧ X C$ なので、 $X$ から最も近い頂点までの距離は $X C$ と $X A$ の小さい方である。

$0 < α ≦ π /4$ では、最大は $x = 0$ での $sin α$ である。 $π /4 < α < π /2$ では、増加する $X A$ と減少する $X C$ が等しい点で最大となる。

sin α - x = x^{2} + cos^{2} α

を解くと

x = \frac{sin ^{2} α - cos ^{2} α}{2 sin α}, X C = \frac{1}{2 sin α}

である。これと $1/2$ を比較すると

s = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} sin α \frac{1}{2 sin α} (0 < α ≦ \frac{π}{6}), (\frac{π}{6} < α ≦ \frac{π}{4}), (\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2})

である。

2. 三角形全体を覆う半径 $t$

三角形を辺の垂直二等分線で分け、各点を最も近い頂点に対応させる。各分割領域で、対応する頂点から最も遠い候補はその領域の頂点だけを調べればよい。

$0 < α ≦ π /4$ では外心 $O$ が三角形の内部または底辺上にあり、3頂点からの距離は外接円半径

R = \frac{B C}{2 sin θ} = \frac{2 sin α}{2 sin 2 α} = \frac{1}{2 cos α}

である。これは辺の中点での距離 $1/2$ 以上であり、また $R ≧ sin α$ である。したがって最も覆いにくい点は $O$ で、 $t = R$ である。

$π /4 < α < π /2$ では外心は三角形の外にある。三角形内の最寄り頂点の領域分割では、最大距離は底辺上の $X A = X C$ となる点での

\frac{1}{2 sin α}

である。辺の中点での距離 $1/2$ よりも小さくないので、これが三角形全体の最大値である。よって

t = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2 cos α} \frac{1}{2 sin α} (0 < α ≦ \frac{π}{4}), (\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2})

である。

(1)

$θ = π /3$ 、 $α = π /6$ だから

s = \frac{1}{2}, t = \frac{1}{2 cos ( π /6 )} = \frac{3}{3}

である。

(2)

$θ = 2 π /3$ 、 $α = π /3$ だから

s = t = \frac{1}{2 sin ( π /3 )} = \frac{3}{3}

である。

(3)

$α = θ /2$ を戻すと

⎩ ⎨ ⎧ 0 < θ ≦ \frac{π}{3} : \frac{π}{3} < θ ≦ \frac{π}{2} : \frac{π}{2} < θ < π : s = \frac{1}{2}, t = \frac{1}{2 cos ( θ /2 )}, s = sin \frac{θ}{2}, t = \frac{1}{2 cos ( θ /2 )}, s = t = \frac{1}{2 sin ( θ /2 )}

である。境界 $θ = π /3, π /2$ でも両側の式は一致する。

東京大学 2025年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

1. 辺全体を覆う半径 s

2. 三角形全体を覆う半径 t

(1)

(2)

(3)

東京大学 2025年度
文系数学第2問

1. 辺全体を覆う半径 $s$

2. 三角形全体を覆う半径 $t$