東京大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

上側の曲線は $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2$ であり，下側は $y=\mathrm{\mid }{x}^2+a\mathrm{\mid }$ である。したがって，固定した $x$ に対する縦の長さは $2-\frac{x^2}{2}-\mathrm{\mid }{x}^2+a\mathrm{\mid }$ である。ただし，この値が負ならその $x$ では領域は存在しない。式は $x$ の偶関数なので，$x\geqq 0$ で計算して2倍する。

1. $-2\leqq a<-1$ の場合
このとき $0\leqq x\leqq 1$ では $x^2+a<0$ である。よって $\mathrm{\mid }{x}^2+a\mathrm{\mid }=-(x^2+a)$ であり，縦の長さは $$2-\frac{x^2}{2}+x^2+a=2+a+\frac{x^2}{2}$$ である。これは $-2\leqq a<-1$ で非負であるから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle =2{\int }_0^1(2+a+\frac{x^2}{2})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(2+a+\frac{1}{6})=\frac{13}{3}+2a}\end{array}$$である。この区間では $a$ について増加し，値は $$\frac{1}{3}\leqq S(a)<\frac{7}{3}$$ である。

2. $-1\leqq a<0$ の場合
このとき $x^2+a$ は $$x=\sqrt{-a}$$ で符号を変える。$$0\leqq x\leqq \sqrt{-a}$$ では $x^2+a\leqq 0$，$$\sqrt{-a}\leqq x\leqq 1$$ では $x^2+a\geqq 0$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle =2{\int }_0^{\sqrt{-a}}(2+a+\frac{x^2}{2})dx+2{\int }_{\sqrt{-a}}^1(2-a-\frac{3x^2}{2})dx\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$u=\sqrt{-a}$$ とおくと，$u^2=-a$ であり，計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle =2\{(2+a)u+\frac{u^3}{6}\}+2\{(2-a)(1-u)-\frac{1}{2}(1-u^3)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3-2a-\frac{8}{3}(-a{)}^{3\mathrm{/}2}}\end{array}$$である。

微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(a)=-2+4\sqrt{-a}$$ である。したがって $$S^{\mathrm{\prime }}(a)>0(-1\leqq a<-\frac{1}{4}),S^{\mathrm{\prime }}(a)<0(-\frac{1}{4}<a<0)$$ となるので，この区間での最大は $a=-\frac{1}{4}$ のときである。その値は$$S(-\frac{1}{4})=3+\frac{1}{2}-\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{8}=\frac{7}{2}-\frac{1}{3}=\frac{19}{6}$$である。

3. $0\leqq a\leqq \frac{1}{2}$ の場合
このとき $x^2+a\geqq 0$ であり，さらに $0\leqq x\leqq 1$ で縦の長さ $2-a-\frac{3x^2}{2}$ は非負である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle =2{\int }_0^1(2-a-\frac{3x^2}{2})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(2-a-\frac{1}{2})=3-2a}\end{array}$$である。この区間での最大は $a=0$ のときで，値は $3$ である。

4. $\frac{1}{2}<a<2$ の場合
このとき $x^2+a\geqq 0$ であるが，縦の長さ $2-a-\frac{3x^2}{2}$ は $x$ が大きいところで負になる。正である範囲は $$2-a-\frac{3x^2}{2}>0$$ すなわち $$0\leqq x<\sqrt{\frac{4-2a}{3}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle =2{\int }_0^{\sqrt{(4-2a)\mathrm{/}3}}(2-a-\frac{3x^2}{2})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\left(\frac{4-2a}{3}\right)}^{3\mathrm{/}2}}\end{array}$$である。この式は $a$ が増えると減少し，$a>1\mathrm{/}2$ では $S(a)<2$ である。

最大値を与える $a=-1\mathrm{/}4$ での2曲線と $-1\leqq x\leqq 1$ の位置関係は次のようになる。

以上を比較すると，各場合の最大候補は $\frac{7}{3},\frac{19}{6},3,2$ の範囲に収まる。最大は $\frac{19}{6}$ であり，これは $a=-1\mathrm{/}4$ のときに実現する。よって求める最大値は $\frac{19}{6}$ である。