東京大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
$0\leqq x\leqq 1$に対し，絶対値を$t=x$で分けると $$f(x)={\int }_0^x\frac{x-t}{1+t^2}dt+{\int }_x^1\frac{t-x}{1+t^2}dt$$ である。これを$x$で微分する。端点$t=x$での被積分関数はどちらも0になるので，端点からの項は消え，$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^x\frac{1}{1+t^2}dt-{\int }_x^1\frac{1}{1+t^2}dt$$ である。各 $x$ に対し、$0\leqq \beta \leqq \pi \mathrm{/}4$ かつ$$x=\tan \beta$$を満たす角 $\beta$ を定める。それぞれ $t=\tan \theta$ と置けば$${\int }_0^x\frac{dt}{1+t^2}={\int }_0^{\beta }d\theta =\beta ,{\int }_x^1\frac{dt}{1+t^2}={\int }_{\beta }^{\pi \mathrm{/}4}d\theta =\frac{\pi }{4}-\beta \mathrm{.}$$したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\beta -\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$(1)の $x=\tan \alpha$ では $0<\alpha <\pi \mathrm{/}4$ だから $\beta =\alpha$ である。よって$$f^{\mathrm{\prime }}(\tan \alpha )=2\alpha -\frac{\pi }{4},$$これが0となるのは$$\alpha =\frac{\pi }{8}$$のときである。

(2)
$u=\tan \frac{\pi }{8}$とおく。$0<\frac{\pi }{8}<\frac{\pi }{4}$より$u>0$である。倍角公式から $$\tan \frac{\pi }{4}=\frac{2u}{1-u^2}=1$$ である。したがって $1-u^2=2u$ すなわち $u^2+2u-1=0$ である。$u>0$より $u=-1+\sqrt{2}$ である。よって $\tan \alpha =\sqrt{2}-1$ である。

(3)
まず$f(x)$を計算しておく。分割した式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x{\int }_0^x\frac{dt}{1+t^2}-{\int }_0^x\frac{t}{1+t^2}dt+{\int }_x^1\frac{t}{1+t^2}dt-x{\int }_x^1\frac{dt}{1+t^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x\beta -\frac{1}{2}\log (1+x^2)+\frac{1}{2}\{\log 2-\log (1+x^2)\}-x(\frac{\pi }{4}-\beta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x(2\beta -\frac{\pi }{4})+\frac{1}{2}\log 2-\log (1+x^2)}\end{array}$$である。

(1) より $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\beta -\frac{\pi }{4}$$ である。$0\leqq \beta \leqq \pi \mathrm{/}4$ で正接は狭義単調に増加するため、$\beta$ も $x$ とともに増加する。よって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となるのは $$x=\tan \frac{\pi }{8}=\sqrt{2}-1$$ のときだけである。したがって$f(x)$は$$0\leqq x<\sqrt{2}-1\text{で減少},\sqrt{2}-1<x\leqq 1\text{で増加}$$する。よって最小値は$x=\sqrt{2}-1$でとる。

このとき$2\beta -\frac{\pi }{4}=0$なので，$$f(\sqrt{2}-1)=\frac{1}{2}\log 2-\log \{1+(\sqrt{2}-1{)}^2\}$$ である。ここで $$1+(\sqrt{2}-1{)}^2=4-2\sqrt{2}$$ だから$$f(\sqrt{2}-1)=\log \sqrt{2}-\log (4-2\sqrt{2})=\log \frac{\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}=\log \frac{1+\sqrt{2}}{2}$$である。したがって最小値は $\log \frac{1+\sqrt{2}}{2}$ である。

最大値は端点で比較すればよい。式に$x=0,1$を代入すると $$f(0)=\frac{1}{2}\log 2,f(1)=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\log 2$$ である。よって $$f(1)-f(0)=\frac{\pi }{4}-\log 2$$ である。$\pi >3$より$\frac{\pi }{4}>0.75$であり，問題文の$\log 2<0.7$から $$\frac{\pi }{4}-\log 2>0.75-0.7>0$$ である。したがって$f(1)>f(0)$であり，最大値は $\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\log 2$ である。

増減と端点比較は次のグラフにまとめられる。

唯一の停留点が最小点であり，最大値については両端の値を比較する必要がある。