東京大学 2023年度理系数学第6問解答・解説

問題

$O$ を原点とする座標空間において，不等式 $∣ x ∣ ≦ 1$ ， $∣ y ∣ ≦ 1$ ， $∣ z ∣ ≦ 1$ の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち， $z < 1$ を満たす部分を $S$ とする。

以下，座標空間内の2点 $A$ ， $B$ が一致するとき，線分 $A B$ は点 $A$ を表すものとし，その長さを0と定める。

(1) 座標空間内の点 $P$ が次の条件(i)，(ii)をともに満たすとき，点 $P$ が動きうる範囲 $V$ の体積を求めよ。

(i) $O P ≦ 3$

(ii) 線分 $O P$ と $S$ は，共有点を持たないか，点 $P$ のみを共有点に持つ。

(2) 座標空間内の点 $N$ と点 $P$ が次の条件(iii)，(iv)，(v)をすべて満たすとき，点 $P$ が動きうる範囲 $W$ の体積を求めよ。必要ならば， $sin α = \frac{1}{3}$ を満たす実数 $α (0 < α < \frac{π}{2})$ を用いてよい。

(iii) $O N + N P ≦ 3$

(iv) 線分 $O N$ と $S$ は共有点を持たない。

(v) 線分 $N P$ と $S$ は，共有点を持たないか，点 $P$ のみを共有点に持つ。

出典：東京大学 2023年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

解法1（標準解法）

上面 $z = 1$ だけは $S$ に含まれないので，原点から直進できる範囲は，立方体全体と，上面を通って半径 $3$ の球内に出る部分である。(1) は球を6つの面方向に対称分割し，上面方向の球部分から立方体内の四角錐を引くと早い。(2) は $N$ で1回曲がれるため， $V$ に加えて上面の4本の辺を回り込む4つの合同な追加領域が現れる。1本の上辺について，その辺に垂直な平面で切った断面を考え，半径 $3 - t^{2} - 2$ ，中心角 $3 π /4$ の扇形面積を積分する。

別解（上辺まわりの最短路を展開する）

上面を出口とみなし，立方体の上辺を回り込む最短折れ線を，辺に垂直な断面で展開して一本の直線にする。辺方向の座標 $t$ を残すと，経路長条件は $t^{2} + (2 + r)^{2} ≦ 3$ となる。追加断面は中心角 $3 π /4$ の扇形で，最後の円弧積分は三角置換で評価する。

解答

解法1（標準解法）

(1)

$S$ は立方体の表面から上面 $z = 1$ を除いた部分である。したがって，線分 $O P$ が立方体から外へ出る場合，最初に通る面が上面 $z = 1$ であれば $S$ と交わらず，側面または底面であれば $S$ と $P$ 以外の点で交わってしまう。

よって $V$ は，立方体そのものと，原点中心・半径 $3$ の球のうち上面方向へ出る部分からなる。ただし，球の上面方向の部分には，立方体内の四角錐 $O と - 1 ≦ x ≦ 1, - 1 ≦ y ≦ 1, z = 1$ も含まれるので，外へ出た部分だけを足すときはこの四角錐を引く。

原点から立方体の6つの面を見た領域は対称であり，半径 $3$ の球は6つの合同な部分に分けられる。したがって上面方向の球部分の体積は $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{3} π (3)^{3} = \frac{2 3 π}{3}$ である。また，立方体内で上面を底面とする四角錐の体積は $\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 1 = \frac{4}{3}$ である。よって上面から外へ出る部分の体積は $\frac{2 3 π}{3} - \frac{4}{3}$ である。

立方体の体積は $2^{3} = 8$ なので

Vol (V) = 8 + \frac{2 3 π}{3} - \frac{4}{3} = \frac{20 + 2 3 π}{3}

である。

(2)

$N = O$ とすれば(iii),(iv),(v)は(1)の条件と同じになるので， $V \subset W$ である。以下， $W$ のうち $V$ に含まれない追加部分を求める。 $P \in / V$ で $P \in W$ となる場合，線分 $O P$ は $S$ と $P$ 以外の点で交わる。その最初の交点は側面4枚のいずれかにある。底面 $z = - 1$ へ向かう場合は，上面を経由して1回折れ曲がっても長さ $3$ 以内で底面の外側へ回り込めないので，追加領域は生じない。したがって，追加部分は上面の4本の辺を回り込む4つの合同な領域である。

そのうち，辺 $E : - 1 ≦ t ≦ 1, (t, 1, 1)$ を回り込む部分の体積を $G$ とする。 $E$ 上の点を $H = (t, 1, 1)$ とし，平面 $x = t$ で断面を考える。この平面内で辺から外側への距離を $r$ とする。上辺を折れ目として経路を展開すると最短折れ線は直線になり，辺方向の座標も合わせた最短路長 $d$ は $d^{2} = t^{2} + (2 + r)^{2}$ を満たす。したがって $d ≦ 3$ は $0 ≦ r ≦ 3 - t^{2} - 2$ と同値である。断面内で上辺の外側へ回り込める角度は $3 π /4$ である。したがってこの断面に現れる追加部分の面積は

\frac{1}{2} (3 - t^{2} - 2)^{2} \cdot \frac{3 π}{4} = \frac{3 π}{8} (3 - t^{2} - 2)^{2}

である。

よって1本の上辺に対応する追加体積は

G = \int_{- 1}^{1} \frac{3 π}{8} (3 - t^{2} - 2)^{2} d t = \frac{3 π}{8} \int_{- 1}^{1} (5 - t^{2} - 22 3 - t^{2}) d t

である。ここで

\int_{- 1}^{1} (5 - t^{2}) d t = [5 t - \frac{t ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} = \frac{28}{3}

である。

また $sin α = 1/ 3$ ， $0 < α < π /2$ とすると $\int_{- 1}^{1} 3 - t^{2} d t = 2 + 3 α$ である。実際，これは半径 $3$ の円 $t^{2} + s^{2} = 3$ の $- 1 ≦ t ≦ 1$ に対応する部分の面積であり，両側の直角三角形の面積 $2$ と中心角 $2 α$ の扇形面積 $3 α$ の和である。

したがって

G = \frac{3 π}{8} (\frac{28}{3} - 22 (2 + 3 α)) = \frac{3 π}{8} (\frac{16}{3} - 62 α) = 2 π - \frac{9 2}{4} α π

である。

この追加領域は4本の上辺について合同で，互いに重ならない。よって

Vol (W) = Vol (V) + 4 G = \frac{20 + 2 3 π}{3} + 4 (2 π - \frac{9 2}{4} α π) = \frac{20 + 2 3 π}{3} + 8 π - 92 α π

である。ただし $sin α = \frac{1}{3}, 0 < α < \frac{π}{2}$ である。

別解（上辺まわりの最短路を展開する）

(1)

立方体の内部から外へ直進するとき， $S$ を通らずに出られるのは上面 $z = 1$ だけである。よって $V$ は立方体と，原点中心・半径 $3$ の球のうち上面方向に見える部分との和である。

球は立方体の6面方向に合同に分かれるので，上面方向の球部分は

\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{3} π (3)^{3} = \frac{2 3 π}{3} .

この中に既に含まれる上面を底面とする四角錐の体積は $4/3$ である。したがって

Vol (V) = 8 + \frac{2 3 π}{3} - \frac{4}{3} = \frac{20 + 2 3 π}{3} .

(2)

$V \subset W$ である。新たに到達できるのは，上面から出たあと4本の上辺のいずれかを回り込む部分である。1本の上辺に沿う座標を $t (- 1 ≦ t ≦ 1)$ とする。辺に垂直な断面では，原点側の断面中心から上辺までの距離は $2$ である。

辺を障害物の折れ目として断面を展開すると，最短折れ線は直線になる。辺から追加領域内の点までの断面距離を $r$ とすれば，辺方向も含めた最短路の長さ $d$ は

d^{2} = t^{2} + (2 + r)^{2} .

したがって $d ≦ 3$ は

0 ≦ r ≦ 3 - t^{2} - 2

と同値である。断面内で上辺の外側へ回り込める角度は $3 π /4$ なので，追加断面は半径 $3 - t^{2} - 2$ ，中心角 $3 π /4$ の扇形である。

ゆえに1本の上辺に対応する追加体積を $G$ とすると

G = \frac{3 π}{8} \int_{- 1}^{1} (3 - t^{2} - 2)^{2} d t .

展開して

G = \frac{3 π}{8} {\frac{28}{3} - 22 \int_{- 1}^{1} 3 - t^{2} d t} .

$t = 3 sin θ$ と置き， $sin α = 1/ 3$ とすれば

\int_{- 1}^{1} 3 - t^{2} d t = 6 \int_{0}^{α} cos^{2} θ d θ = 3 α + \frac{3}{2} sin 2 α = 3 α + 2 .

したがって

G = 2 π - \frac{9 2}{4} α π .

4本の上辺に対応する追加領域は合同で，内部は互いに重ならないから

Vol (W) = Vol (V) + 4 G = \frac{20 + 2 3 π}{3} + 8 π - 92 α π .

東京大学 2023年度理系数学 第6問

問題

方針

解法1（標準解法）

別解（上辺まわりの最短路を展開する）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

別解（上辺まわりの最短路を展開する）

(1)

(2)

東京大学 2023年度
理系数学第6問