東京大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $S$ は立方体の表面から上面 $z=1$ を除いた部分である。したがって，線分 $OP$ が立方体から外へ出る場合，最初に通る面が上面 $z=1$ であれば $S$ と交わらず，側面または底面であれば $S$ と $P$ 以外の点で交わってしまう。

よって $V$ は，立方体そのものと，原点中心・半径 $\sqrt{3}$ の球のうち上面方向へ出る部分からなる。ただし，球の上面方向の部分には，立方体内の四角錐 $$O\text{ と }-1\leqq x\leqq 1,-1\leqq y\leqq 1,z=1$$ も含まれるので，外へ出た部分だけを足すときはこの四角錐を引く。

原点から立方体の6つの面を見た領域は対称であり，半径 $\sqrt{3}$ の球は6つの合同な部分に分けられる。したがって上面方向の球部分の体積は $$\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3}{)}^3=\frac{2\sqrt{3}\pi }{3}$$ である。また，立方体内で上面を底面とする四角錐の体積は $$\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 1=\frac{4}{3}$$ である。よって上面から外へ出る部分の体積は $\frac{2\sqrt{3}\pi }{3}-\frac{4}{3}$ である。

立方体の体積は $2^3=8$ なので$$\mathrm{Vol}(V)=8+\frac{2\sqrt{3}\pi }{3}-\frac{4}{3}=\frac{20+2\sqrt{3}\pi }{3}$$である。

(2) $N=O$ とすれば(iii),(iv),(v)は(1)の条件と同じになるので，$V\subset W$ である。以下，$W$ のうち $V$ に含まれない追加部分を求める。 $P\mathrm{\notin }V$ で $P\in W$ となる場合，線分 $OP$ は $S$ と $P$ 以外の点で交わる。その最初の交点は側面4枚のいずれかにある。底面 $z=-1$ へ向かう場合は，上面を経由して1回折れ曲がっても長さ $\sqrt{3}$ 以内で底面の外側へ回り込めないので，追加領域は生じない。したがって，追加部分は上面の4本の辺を回り込む4つの合同な領域である。

そのうち，辺 $$E:-1\leqq t\leqq 1,(t,1,1)$$ を回り込む部分の体積を $G$ とする。$E$ 上の点を $H=(t,1,1)$ とし，平面 $x=t$ で断面を考える。この平面内で辺から外側への距離を $r$ とする。上辺を折れ目として経路を展開すると最短折れ線は直線になり，辺方向の座標も合わせた最短路長 $d$ は $d^2=t^2+(\sqrt{2}+r{)}^2$ を満たす。したがって $d\leqq \sqrt{3}$ は $$0\leqq r\leqq \sqrt{3-t^2}-\sqrt{2}$$ と同値である。断面内で上辺の外側へ回り込める角度は $3\pi \mathrm{/}4$ である。したがってこの断面に現れる追加部分の面積は$$\frac{1}{2}{(\sqrt{3-t^2}-\sqrt{2})}^2\cdot \frac{3\pi }{4}=\frac{3\pi }{8}{(\sqrt{3-t^2}-\sqrt{2})}^2$$である。

よって1本の上辺に対応する追加体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle G}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1\frac{3\pi }{8}{(\sqrt{3-t^2}-\sqrt{2})}^{2}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3\pi }{8}{\int }_{-1}^1(5-t^2-2\sqrt{2}\sqrt{3-t^2})dt}\end{array}$$である。ここで$${\int }_{-1}^1(5-t^2)dt={[5t-\frac{t^3}{3}]}_{-1}^1=\frac{28}{3}$$である。

また $\sin \alpha =1\mathrm{/}\sqrt{3}$，$0<\alpha <\pi \mathrm{/}2$ とすると $${\int }_{-1}^1\sqrt{3-t^2}dt=\sqrt{2}+3\alpha$$ である。実際，これは半径 $\sqrt{3}$ の円 $t^2+s^2=3$ の $-1\leqq t\leqq 1$ に対応する部分の面積であり，両側の直角三角形の面積 $\sqrt{2}$ と中心角 $2\alpha$ の扇形面積 $3\alpha$ の和である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle G}& {\displaystyle =\frac{3\pi }{8}(\frac{28}{3}-2\sqrt{2}(\sqrt{2}+3\alpha ))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3\pi }{8}(\frac{16}{3}-6\sqrt{2}\alpha )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi -\frac{9\sqrt{2}}{4}\alpha \pi }\end{array}$$である。

この追加領域は4本の上辺について合同で，互いに重ならない。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{Vol}(W)}& {\displaystyle =\mathrm{Vol}(V)+4G}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{20+2\sqrt{3}\pi }{3}+4(2\pi -\frac{9\sqrt{2}}{4}\alpha \pi )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{20+2\sqrt{3}\pi }{3}+8\pi -9\sqrt{2}\alpha \pi }\end{array}$$である。ただし $$\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}},0<\alpha <\frac{\pi }{2}$$ である。

上面を出口とみなし，立方体の上辺を回り込む最短折れ線を，辺に垂直な断面で展開して一本の直線にする。辺方向の座標 $t$ を残すと，経路長条件は $t^2+(\sqrt{2}+r{)}^2\leqq 3$ となる。追加断面は中心角 $3\pi \mathrm{/}4$ の扇形で，最後の円弧積分は三角置換で評価する。

(1)
立方体の内部から外へ直進するとき，$S$ を通らずに出られるのは上面 $z=1$ だけである。よって $V$ は立方体と，原点中心・半径 $\sqrt{3}$ の球のうち上面方向に見える部分との和である。

球は立方体の6面方向に合同に分かれるので，上面方向の球部分は$$\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3}{)}^3=\frac{2\sqrt{3}\pi }{3}\mathrm{.}$$この中に既に含まれる上面を底面とする四角錐の体積は $4\mathrm{/}3$ である。したがって$$\mathrm{Vol}(V)=8+\frac{2\sqrt{3}\pi }{3}-\frac{4}{3}=\frac{20+2\sqrt{3}\pi }{3}\mathrm{.}$$(2)
$V\subset W$ である。新たに到達できるのは，上面から出たあと4本の上辺のいずれかを回り込む部分である。1本の上辺に沿う座標を $t(-1\leqq t\leqq 1)$ とする。辺に垂直な断面では，原点側の断面中心から上辺までの距離は $\sqrt{2}$ である。

辺を障害物の折れ目として断面を展開すると，最短折れ線は直線になる。辺から追加領域内の点までの断面距離を $r$ とすれば，辺方向も含めた最短路の長さ $d$ は$$d^2=t^2+(\sqrt{2}+r{)}^2\mathrm{.}$$したがって $d\leqq \sqrt{3}$ は$$0\leqq r\leqq \sqrt{3-t^2}-\sqrt{2}$$と同値である。断面内で上辺の外側へ回り込める角度は $3\pi \mathrm{/}4$ なので，追加断面は半径 $\sqrt{3-t^2}-\sqrt{2}$，中心角 $3\pi \mathrm{/}4$ の扇形である。

ゆえに1本の上辺に対応する追加体積を $G$ とすると$$G=\frac{3\pi }{8}{\int }_{-1}^1{(\sqrt{3-t^2}-\sqrt{2})}^{2}dt\mathrm{.}$$展開して$$G=\frac{3\pi }{8}\{\frac{28}{3}-2\sqrt{2}{\int }_{-1}^1\sqrt{3-t^2}dt\}\mathrm{.}$$$t=\sqrt{3}\sin \theta$ と置き，$\sin \alpha =1\mathrm{/}\sqrt{3}$ とすれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\sqrt{3-t^2}dt}& {\displaystyle =6{\int }_0^{\alpha }{\cos }^2\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\alpha +\frac{3}{2}\sin 2\alpha =3\alpha +\sqrt{2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$G=2\pi -\frac{9\sqrt{2}}{4}\alpha \pi \mathrm{.}$$4本の上辺に対応する追加領域は合同で，内部は互いに重ならないから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{Vol}(W)}& {\displaystyle =\mathrm{Vol}(V)+4G}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{20+2\sqrt{3}\pi }{3}+8\pi -9\sqrt{2}\alpha \pi \mathrm{.}}\end{array}$$