東京大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $z=x+yi$ とおく。$z$ は中心 $1\mathrm{/}2$，半径 $1\mathrm{/}2$ の円周上にあるので $${(x-\frac{1}{2})}^2+y^2=\frac{1}{4}$$ である。これを展開すると $$x^2-x+\frac{1}{4}+y^2=\frac{1}{4}$$ より $x^2+y^2=x$ を得る。

また，曲線 $C$ では原点を除いているので $z\mathrm{\ne }0$ である。したがって $$\frac{1}{z}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}$$ であり，その実部は $\frac{x}{x^2+y^2}$ である。上で得た $x^2+y^2=x$ を用いると $$\frac{x}{x^2+y^2}=1$$ となる。よって $1\mathrm{/}z$ の実部は1である。

(2)
(1)より，$\alpha ,\beta$ が $C$ 上にあるとき $$\frac{1}{\alpha }=1+si,\frac{1}{\beta }=1+ti$$ とおける。ただし $s,t$ は実数である。$\alpha \mathrm{\ne }\beta$ であり，写像 $z\mapsto 1\mathrm{/}z$ は一対一なので，$s\mathrm{\ne }t$ である。

このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}+\frac{1}{{\beta }^2}}& {\displaystyle =(1+si{)}^2+(1+ti{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-s^2-t^2+2(s+t)i}\end{array}$$である。これを $X+Yi$ とおくと $$X=2-s^2-t^2,Y=2(s+t)$$ である。実数 $s,t$ について $$s^2+t^2\geqq \frac{(s+t{)}^2}{2}$$ が成り立ち，等号は $s=t$ のときに限る。今回は $s\mathrm{\ne }t$ だから $$s^2+t^2>\frac{(s+t{)}^2}{2}=\frac{Y^2}{8}$$ である。したがって $$X=2-s^2-t^2<2-\frac{Y^2}{8}$$ を得る。

逆に，実数 $X,Y$ が $$X<2-\frac{Y^2}{8}$$ を満たすとする。 $$p=\frac{Y}{2},q=2-X$$ とおくと，条件は $$q>\frac{p^2}{2}$$ である。和が $p$，二乗和が $q$ である2つの実数 $s,t$ を取ればよい。実際，$s+t=p$ のもとで $s^2+t^2=q$ となる条件は $(s-t{)}^2=2q-p^2>0$ であり，これは相異なる実数 $s,t$ を与える。すると上の計算により，その $s,t$ からちょうど $X+Yi$ が得られる。

よって求める範囲は $$\{X+Yi\mid X<2-\frac{Y^2}{8}\}$$ である。これは放物線 $$X=2-\frac{Y^2}{8}$$ の左側の領域であり，境界は含まない。

複素数平面では、横軸を実部 $X$、縦軸を虚部 $Y$ とすると次の図の青い領域である。破線の境界は含まない。

(3) $\gamma =X+Yi$ とおく。(2)で求めた範囲に属さないので $X\geqq 2-\frac{Y^2}{8}$ である。また $0$ は(2)の範囲に属するため，ここでは $\gamma \mathrm{\ne }0$ である。したがって $$\frac{1}{\gamma }=\frac{X-Yi}{X^2+Y^2}$$ であり，その実部は $$F=\frac{X}{X^2+Y^2}$$ である。

まず最大値を求める。$F\leqq 1\mathrm{/}2$ は $$\frac{X}{X^2+Y^2}\leqq \frac{1}{2}$$ すなわち $X^2+Y^2\geqq 2X$ と同値であり，これは $(X-1{)}^2+Y^2\geqq 1$ である。これを領域の条件から示す。 $q=Y^2$ とおく。固定した $q$ に対して，許される $X$ は $X\geqq 2-\frac{q}{8}$ である。$(X-1{)}^2+q$ の最小値を考える。 $q\geqq 8$ のときは $2-q\mathrm{/}8\leqq 1$ なので，$X=1$ が許され，最小値は $q\geqq 8$ である。よって1以上である。 $0\leqq q<8$ のときは $2-q\mathrm{/}8>1$ なので，最小は端点 $X=2-q\mathrm{/}8$ でとる。このとき $${(1-\frac{q}{8})}^2+q=1+\frac{3q}{4}+\frac{q^2}{64}\geqq 1$$ である。したがって常に $(X-1{)}^2+Y^2\geqq 1$ であり，$F\leqq \frac{1}{2}$ が成り立つ。等号は $(X,Y)=(2,0)$ で成り立つので，最大値は $\frac{1}{2}$ である。

次に最小値を求める。$F\geqq -1\mathrm{/}16$ は $$\frac{X}{X^2+Y^2}\geqq -\frac{1}{16}$$ すなわち $X^2+Y^2\geqq -16X$ と同値であり，これは $(X+8{)}^2+Y^2\geqq 64$ である。

再び $q=Y^2$ とおく。固定した $q$ に対して，$(X+8{)}^2+q$ の最小値を考える。 $q\geqq 80$ のときは $2-q\mathrm{/}8\leqq -8$ なので，$X=-8$ が許され，最小値は $q\geqq 80>64$ である。 $0\leqq q<80$ のときは $2-q\mathrm{/}8>-8$ なので，最小は端点 $X=2-q\mathrm{/}8$ でとる。このとき $${(10-\frac{q}{8})}^2+q=64+\frac{(q-48{)}^2}{64}\geqq 64$$ である。したがって常に $(X+8{)}^2+Y^2\geqq 64$ であり，$F\geqq -\frac{1}{16}$ が成り立つ。等号は $$q=48,X=2-\frac{48}{8}=-4$$ すなわち $(X,Y)=(-4,\pm 4\sqrt{3})$ で成り立つ。よって最小値は $-\frac{1}{16}$ である。

以上より，$1\mathrm{/}\gamma$ の実部の最大値と最小値はそれぞれ $\frac{1}{2},-\frac{1}{16}$ である。