東京大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $\alpha =-3$ であるから $w=(z+3{)}^3$ である。$z$ が原点中心，半径1の円上を動くとき，$z+3$ は点 $-3$ から単位円上の点へ向かうベクトルを表す。

このベクトルの偏角を $\phi$ とする。点 $-3$ から単位円へ引いた接線と、点 $-3$ から原点へ向かう直線のなす角を ${\phi }_0$ とする。接点でできる直角三角形より$$0<{\phi }_0<\frac{\pi }{2},\sin {\phi }_0=\frac{1}{3}$$であり、動径の偏角は$$-{\phi }_0\leqq \phi \leqq {\phi }_0$$を動く。また $$\sin {\phi }_0=1\mathrm{/}3<1\mathrm{/}2=\sin (\pi \mathrm{/}6)$$ なので、正弦の単調性から ${\phi }_0<\pi \mathrm{/}6$、したがって $3{\phi }_0<\pi \mathrm{/}2$ である。

$w=(z+3{)}^3$ なので、$w$ の偏角 $\theta$ は $\theta =3\phi$ と表される。上の範囲では $\sin \theta$ は $\theta$ について単調増加するから、最大値は $\phi ={\phi }_0$ のとき、最小値は $\phi =-{\phi }_0$ のときに得られる。3倍角の公式より$$\sin 3{\phi }_0=3\sin {\phi }_0-4{\sin }^3{\phi }_0=1-\frac{4}{27}=\frac{23}{27}\mathrm{.}$$したがって求める範囲は$$-\frac{23}{27}\leqq \sin \theta \leqq \frac{23}{27}$$である。

(2) $w=(z-\alpha {)}^3$ である。$w$ が正の実軸上にあるためには，$z-\alpha$ の偏角が $0,\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$ のいずれかであればよい。また，$w$ が負の実軸上にあるためには，$z-\alpha$ の偏角が $\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}$ のいずれかであればよい。つまり，$\pi \mathrm{/}3$ 刻みの6方向が，正実軸に対応する方向と負実軸に対応する方向に交互に分かれている。

点 $\alpha$ の原点からの距離を $r=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }$ とする。$0\leqq r<1$ では $\alpha$ は単位円の内部にあるので，任意の方向の半直線が単位円と共有点をもつ。$r=1$ では $z=\alpha$ が与える $w=0$ は実軸の正負いずれの部分にも含まれないが，$\alpha$ から円上の他の点へ向かう方向全体は開いた半円をなす。長さ $\pi$ のこの区間には，$\pi \mathrm{/}3$ 間隔で交互に並ぶ6方向のうち隣り合う2方向が必ず含まれるので，正の部分と負の部分の双方に共有点をもつ。したがって $0\leqq r\leqq 1$ はすべて条件を満たす。

以下 $r>1$ とする。点 $\alpha$ から単位円を見込む方向は、原点へ向かう方向を中心とする角の範囲である。その半角を $\gamma =\gamma (r)$ とすると、接点でできる直角三角形より$$0<\gamma (r)<\frac{\pi }{2},\sin \gamma (r)=\frac{1}{r}$$である。

条件を満たすには，この見込み角の中に，正実軸に対応する方向と負実軸に対応する方向が少なくとも1つずつ入ればよい。6方向は $\pi \mathrm{/}3$ 間隔で交互に並ぶので，これは見込み角が隣り合う2方向を含むことと同値である。

隣り合う2方向の中点は6個あり，それらも $\pi \mathrm{/}3$ 間隔で並ぶ。1組の隣り合う2方向を両方含むためには，見込み角の中心方向がその中点から $\gamma -\frac{\pi }{6}$ 以内にあればよい。したがって $\gamma <\pi \mathrm{/}6$，すなわち $r>2$ では条件を満たさない。

また $\gamma \geqq \pi \mathrm{/}3$，すなわち $$r\leqq \frac{2}{\sqrt{3}}$$ では，どの中心方向でも条件を満たす。$\pi \mathrm{/}6\leqq \gamma <\pi \mathrm{/}3$，すなわち $$\frac{2}{\sqrt{3}}<r\leqq 2$$ では，許される中心方向の全幅は $$6(2\gamma -\frac{\pi }{3})=12\gamma (r)-2\pi$$ である。

よって，求める面積 $A$ は極座標で$$A=\pi {\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2+{\int }_{2\mathrm{/}\sqrt{3}}^2(12\gamma (r)-2\pi )rdr$$である。

ここで$$J={\int }_{2\mathrm{/}\sqrt{3}}^{2}r\gamma (r)dr$$とおく。$\sin \gamma =1\mathrm{/}r$ より $r=1\mathrm{/}\sin \gamma$ と変数を替える。$r=2\mathrm{/}\sqrt{3},2$ はそれぞれ $\gamma =\pi \mathrm{/}3,\pi \mathrm{/}6$ に対応し、$$dr=-\frac{\cos \gamma }{{\sin }^2\gamma }d\gamma$$であるから$$J={\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}3}\frac{\gamma \cos \gamma }{{\sin }^3\gamma }d\gamma \mathrm{.}$$部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle J}& {\displaystyle ={[-\frac{\gamma }{2{\sin }^2\gamma }]}_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}3}+\frac{1}{2}{\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}3}\frac{d\gamma }{{\sin }^2\gamma }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{9}+\frac{1}{2}{[-\frac{\cos \gamma }{\sin \gamma }]}_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{9}+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$A=\frac{4\pi }{3}+12(\frac{\pi }{9}+\frac{1}{\sqrt{3}})-2\pi \cdot \frac{1}{2}(4-\frac{4}{3})$$である。これを整理すると $$A=\frac{4\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}+4\sqrt{3}-\frac{8\pi }{3}=4\sqrt{3}$$ となる。よって求める面積は $4\sqrt{3}$ である。