東京大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
方程式 $z^4-2z^3-2az+b=0$ の係数はすべて実数である。したがって、実数でない解があれば、その共役複素数も解である。

4つの解がすべて実数であるとすると、$\alpha \beta +\gamma \delta$ は実数になり、条件3の「虚部は0でない」に反する。

次に、4つの解がすべて実数でないとする。このとき解は2組の共役複素数 $u+vi,u-vi,s+ti,s-ti$ の形である。共役な2つを同じ組にすれば積は実数であり、交差して組にしても、例えば $$(u+vi)(s+ti)+(u-vi)(s-ti)=2(us-vt)$$ のように和は実数になる。したがって、どのように2つずつ組にしても $\alpha \beta +\gamma \delta$ は実数となり、条件3に反する。

よって4つの解のうち、ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数である。

(2)
実数解を $x,y$、実数でない解を $u+vi,u-vi$ とおく。ただし $v\mathrm{\ne }0$ である。

条件3より、$\alpha \beta$ と $\gamma \delta$ はそれぞれ実根と非実根の積でなければならない。もし実根どうし、非実根どうしを掛ける組があれば、和は実数になってしまうからである。したがって、必要なら文字を入れ替えて $$\alpha =x,\beta =u+vi,\gamma =y,\delta =u-vi$$ としてよい。このとき $$\alpha \beta +\gamma \delta =x(u+vi)+y(u-vi)=u(x+y)+v(x-y)i$$ である。条件3から実部は0、虚部は0でないので $u(x+y)=0,x\mathrm{\ne }y$ を得る。

解と係数の関係より $x+y+2u=2$ であり、2つずつの積の和は0だから $xy+2u(x+y)+u^2+v^2=0$ である。また3つずつの積の和は $2a$ であり、4つの積は $b$ である。

まず $u=0$ の場合を考える。このとき $x+y=2$ であり、2つずつの積の関係から $xy+v^2=0$ である。3つずつの積の和は $xy(u+vi)+xy(u-vi)+x(u^2+v^2)+y(u^2+v^2)$ であり、$u=0$、$x+y=2$ を代入すると $2a=2v^2$ となる。したがって $a=v^2$ である。また $$b=xy(u^2+v^2)=xy{v}^2=-v^4$$ なので $b=-a^2$ である。

次に $x+y=0$ の場合を考える。$x+y+2u=2$ より $u=1$ である。2つずつの積の関係から $xy+1+v^2=0$ すなわち $xy=-(1+v^2)$ である。3つずつの積の和は、$x+y=0$、$u=1$ を用いると $2a=2xy$ となるので $a=xy=-(1+v^2)$ である。また $$b=xy(u^2+v^2)=xy(1+v^2)=-(1+v^2{)}^2$$ だから、この場合も $b=-a^2$ である。

以上より $b=-a^2$ である。

(3)
条件3のもとで、$\alpha$ と $\beta$ は実根1つと非実根1つの組である。そこで $w=\alpha +\beta =X+Yi$ とおく。上の記号では、$w=x+u+vi$ と書ける。ここで $v\mathrm{\ne }0$ だから $Y\mathrm{\ne }0$ である。 $u=0$ の場合、$x+y=2$、$xy=-v^2$ である。したがって $x,y$ は $T^2-2T-v^2=0$ の2解であり $$x=1\pm \sqrt{1+v^2}$$ である。このとき $$w=1\pm \sqrt{1+v^2}+vi$$ となる。 $x+y=0$ の場合は $u=1$、$xy=-(1+v^2)$ である。したがって $$x=\pm \sqrt{1+v^2}$$ であり、このときも $$w=1\pm \sqrt{1+v^2}+vi$$ と書ける。

よって、$w=X+Yi$ の満たす条件は $$X=1\pm \sqrt{1+Y^2},Y\mathrm{\ne }0$$ である。これは $$(X-1{)}^2-Y^2=1,Y\mathrm{\ne }0$$ を満たす点全体である。

したがって、複素数平面上では中心を $1$ だけ右へ移した双曲線 $(X-1{)}^2-Y^2=1$ の2つの枝から、実軸上の2点 $0$、$2$ を除いた部分が求める範囲である。

実根2個と共役な非実根2個に分類し、解と係数の関係から $b=-a^2$ を得る。その後4次式を2つの2次式に因数分解し、根を明示して $\alpha +\beta$ の軌跡を読む。

(1)
係数が実数なので非実根は共役な組で現れる。4根がすべて実数なら $\alpha \beta +\gamma \delta$ は実数である。2組の共役な非実根だけからなる場合も、どの組分けでも2つの積の和は実数になる。条件3に反するから、実根が2個、共役な非実根が2個である。

(2)
実根を $x,y$、非実根を $u\pm vi$ とする。条件3を満たす組分けでは$$\alpha \beta +\gamma \delta =u(x+y)+v(x-y)i\mathrm{.}$$したがって $u(x+y)=0$ かつ $x\mathrm{\ne }y$ である。解と係数の関係$$x+y+2u=2,xy+2u(x+y)+u^2+v^2=0$$を用いる。$u=0$ のときは $x+y=2$、$xy=-v^2$、$a=v^2$ となり $b=xy{v}^2=-a^2$ である。$x+y=0$ のときは $u=1$、$xy=-(1+v^2)=a$ となり、やはり $b=xy(1+v^2)=-a^2$ である。

(3)
(2)から4次式は$$z^4-2z^3-2az-a^2=(z^2+a)(z^2-2z-a)$$と因数分解できる。$a>0$ では根は$$\pm i\sqrt{a},1\pm \sqrt{1+a},$$$a<-1$ では根は$$\pm \sqrt{-a},1\pm i\sqrt{-1-a}\mathrm{.}$$$a=0,-1$ は相異なる4根という条件を満たさない。条件3の組では実根1個と非実根1個を足すので、$w=\alpha +\beta =X+Yi$ はいずれの場合も$$X=1\pm \sqrt{1+Y^2},Y\mathrm{\ne }0.$$したがって軌跡は$$(X-1{)}^2-Y^2=1,Y\mathrm{\ne }0$$であり、双曲線から実軸上の2点 $0,2$ を除いた部分である。