問題
複素数，，，および実数，が，次の3条件をみたしながら動く。
条件1：，，，は相異なる。
条件2：，，，は4次方程式の解である。
条件3：複素数の実部は0であり，虚部は0でない。
(1) ，，，のうち，ちょうど2つが実数であり，残りの2つは互いに共役な複素数であることを示せ。
(2) をで表せ。
(3) 複素数がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
% 図は省略
方針
解法1
係数が実数であることから、非実数解は共役な組で現れる。条件3では が純虚数で0でないため、4根がすべて実数の場合も、非実数根が2組だけの場合も除外される。そこで実根を 、非実根を と置く。条件3が成り立つには実根と非実根が組になっていなければならないので、実部・虚部を比較して 、 を得る。あとは解と係数の関係を と の2場合に分けて使い、どちらも に帰着させる。最後は が「実根1つ + 非実根1つ」であることを用いて、双曲線 を導く。
解法2
実根2個と共役な非実根2個に分類し、解と係数の関係から を得る。その後4次式を2つの2次式に因数分解し、根を明示して の軌跡を読む。
解答
解法1
(1)
方程式 の係数はすべて実数である。したがって、実数でない解があれば、その共役複素数も解である。
4つの解がすべて実数であるとすると、 は実数になり、条件3の「虚部は0でない」に反する。
次に、4つの解がすべて実数でないとする。このとき解は2組の共役複素数 の形である。共役な2つを同じ組にすれば積は実数であり、交差して組にしても、例えば のように和は実数になる。したがって、どのように2つずつ組にしても は実数となり、条件3に反する。
よって4つの解のうち、ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数である。
(2)
実数解を 、実数でない解を とおく。ただし である。
条件3より、 と はそれぞれ実根と非実根の積でなければならない。もし実根どうし、非実根どうしを掛ける組があれば、和は実数になってしまうからである。したがって、必要なら文字を入れ替えて としてよい。このとき である。条件3から実部は0、虚部は0でないので を得る。
解と係数の関係より であり、2つずつの積の和は0だから である。また3つずつの積の和は であり、4つの積は である。
まず の場合を考える。このとき であり、2つずつの積の関係から である。3つずつの積の和は であり、、 を代入すると となる。したがって である。また なので である。
次に の場合を考える。 より である。2つずつの積の関係から すなわち である。3つずつの積の和は、、 を用いると となるので である。また だから、この場合も である。
以上より である。
(3)
条件3のもとで、 と は実根1つと非実根1つの組である。そこで とおく。上の記号では、 と書ける。ここで だから である。 の場合、、 である。したがって は の2解であり である。このとき となる。 の場合は 、 である。したがって であり、このときも と書ける。
よって、 の満たす条件は である。これは を満たす点全体である。
したがって、複素数平面上では中心を だけ右へ移した双曲線 の2つの枝から、実軸上の2点 、 を除いた部分が求める範囲である。
解法2
(1)
係数が実数なので非実根は共役な組で現れる。4根がすべて実数なら は実数である。2組の共役な非実根だけからなる場合も、どの組分けでも2つの積の和は実数になる。条件3に反するから、実根が2個、共役な非実根が2個である。
(2)
実根を 、非実根を とする。条件3を満たす組分けでは
したがって かつ である。解と係数の関係
を用いる。 のときは 、、 となり である。 のときは 、 となり、やはり である。
(3)
(2)から4次式は
と因数分解できる。 では根は
では根は
は相異なる4根という条件を満たさない。条件3の組では実根1個と非実根1個を足すので、 はいずれの場合も
したがって軌跡は
であり、双曲線から実軸上の2点 を除いた部分である。
