東京大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ である。点 $P(z)$ における接線は$$\mathrm{Re}(X\bar{z})=1$$で表され、その法線方向は $z$ である。点 $1$ をこの直線に関して対称移動すると$$u=1+2\{1-\mathrm{Re}z\}z\mathrm{.}$$また $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ より$$2\mathrm{Re}z=z+\frac{1}{z}$$だから$$u=1+2z-z(z+\frac{1}{z})=2z-z^2\mathrm{.}$$したがって$$1-u=(1-z{)}^2,w=\frac{1}{(1-z{)}^2}\mathrm{.}$$$\bar{z}=1\mathrm{/}z$ を用いると$$\bar{w}=\frac{1}{(1-\bar{z}{)}^2}=\frac{z^2}{(1-z{)}^2},$$よって$$\frac{\bar{w}}{w}=z^2\mathrm{.}$$さらに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle w+\bar{w}-1}& {\displaystyle =\frac{1+z^2-(1-z{)}^2}{(1-z{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2z}{(1-z{)}^2}=2zw\mathrm{.}}\end{array}$$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ なので$$\frac{\mathrm{\mid }w+\bar{w}-1\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }}=2.$$(2)

$w=X+Yi$ とおく。(1)より$$\mathrm{\mid }2X-1\mathrm{\mid }=2\sqrt{X^2+Y^2}\mathrm{.}$$両辺を2乗して整理すると$$Y^2=\frac{1}{4}-X\mathrm{.}$$範囲を求める。$$z=\cos \theta +i\sin \theta$$ とおくと$$w=\frac{-\cos \theta +i\sin \theta }{2(1-\cos \theta )},$$したがって$$X=-\frac{\cos \theta }{2(1-\cos \theta )}\mathrm{.}$$$c=\cos \theta$ に対する関数$$-\frac{c}{2(1-c)}$$は $-1\leqq c\leqq 1\mathrm{/}2$ で減少するから$$-\frac{1}{2}\leqq X\leqq \frac{1}{4}\mathrm{.}$$よって軌跡は$$Y^2=\frac{1}{4}-X,-\frac{1}{2}\leqq X\leqq \frac{1}{4}$$で表される放物線の部分である。

$z=x+yi$ として接線 $xX+yY=1$ に関する点 $(1,0)$ の対称移動を座標公式で求める。(2)では半角変数 $t=\cot (\theta \mathrm{/}2)$ を使うと、$w$ の実部・虚部が $X=(1-t^2)\mathrm{/}4$、$Y=t\mathrm{/}2$ となる。円弧の条件も $t^2\leqq 3$ へ直ちに変わる。

(1)

$z=x+yi$ とおくと $x^2+y^2=1$ であり、点 $P$ における接線は$$xX+yY=1$$である。点 $A=(1,0)$ からこの直線への法線方向の符号つきずれは $x-1$ なので、対称点は$$Q=(1,0)-2(x-1)(x,y)\mathrm{.}$$これを複素数で書けば$$u=1+2(1-x)z\mathrm{.}$$$2x=z+\bar{z}=z+1\mathrm{/}z$ を使うと$$u=2z-z^2\mathrm{.}$$以下、$$w=\frac{1}{(1-z{)}^2},\frac{\bar{w}}{w}=z^2,w+\bar{w}-1=2zw$$となるから、求める商は $2$ である。

(2)

$z=e^{i\theta }$ とし、$$t=\cot \frac{\theta }{2}$$とおく。半角公式より$$\cos \theta =\frac{t^2-1}{t^2+1},\sin \theta =\frac{2t}{t^2+1}\mathrm{.}$$$w=1\mathrm{/}(1-z{)}^2$ の実部、虚部を整理すると$$X=\frac{1-t^2}{4},Y=\frac{t}{2}\mathrm{.}$$したがって媒介変数 $t$ を消去して$$X=\frac{1}{4}-Y^2\mathrm{.}$$また $$\mathrm{Re}z=\cos \theta \leqq 1\mathrm{/}2$$ は$$\frac{t^2-1}{t^2+1}\leqq \frac{1}{2}⟺t^2\leqq 3$$と同値である。よって$$-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq Y\leqq \frac{\sqrt{3}}{2},$$すなわち$$Y^2=\frac{1}{4}-X,-\frac{1}{2}\leqq X\leqq \frac{1}{4}$$を得る。