東京大学 2018年度理系数学第5問解答・解説

問題

複素数平面上の原点を中心とする半径1の円を $C$ とする。点 $P (z)$ は $C$ 上にあり、点 $A (1)$ とは異なるとする。点 $P$ における円 $C$ の接線に関して、点 $A$ と対称な点を $Q (u)$ とする。

w = \frac{1}{1 - u}

とおき、 $w$ と共役な複素数を $\overline{w}$ で表す。

(1) $u$ と

\frac{w}{w}

を $z$ についての整式として表し、

\frac{∣ w + w - 1∣}{∣ w ∣}

を求めよ。

(2) $C$ のうち実部が $1/2$ 以下の複素数で表される部分を $C^{'}$ とする。点 $P (z)$ が $C^{'}$ 上を動くときの点 $R (w)$ の軌跡を求めよ。

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

解法1

単位円上の点 $z$ における接線を $Re (X \overline{z}) = 1$ と表す。法線方向 $z$ に沿って点 $1$ を対称移動し、 $u = 2 z - z^{2}$ を得る。すると $1 - u = (1 - z)^{2}$ となり、 $\overline{z} = 1/ z$ を使って $\overline{w} / w$ と絶対値の商を求められる。(2)は $w = X + Y i$ とおき、(1)の絶対値関係を放物線の方程式へ変え、 $Re z ≦ 1/2$ から範囲を絞る。

解法2

$z = x + y i$ として接線 $x X + y Y = 1$ に関する点 $(1, 0)$ の対称移動を座標公式で求める。(2)では半角変数 $t = cot (θ /2)$ を使うと、 $w$ の実部・虚部が $X = (1 - t^{2}) /4$ 、 $Y = t /2$ となる。円弧の条件も $t^{2} ≦ 3$ へ直ちに変わる。

解答

解法1

(1)

$∣ z ∣ = 1$ である。点 $P (z)$ における接線は

Re (X \overline{z}) = 1

で表され、その法線方向は $z$ である。点 $1$ をこの直線に関して対称移動すると

u = 1 + 2 {1 - Re z} z .

また $∣ z ∣ = 1$ より

2 Re z = z + \frac{1}{z}

だから

u = 1 + 2 z - z (z + \frac{1}{z}) = 2 z - z^{2} .

したがって

1 - u = (1 - z)^{2}, w = \frac{1}{( 1 - z ) ^{2}} .

$\overline{z} = 1/ z$ を用いると

\overline{w} = \frac{1}{( 1 - z ) ^{2}} = \frac{z ^{2}}{( 1 - z ) ^{2}},

よって

\frac{w}{w} = z^{2} .

さらに

w + \overline{w} - 1 = \frac{1 + z ^{2} - ( 1 - z ) ^{2}}{( 1 - z ) ^{2}} = \frac{2 z}{( 1 - z ) ^{2}} = 2 z w .

$∣ z ∣ = 1$ なので

\frac{∣ w + w - 1∣}{∣ w ∣} = 2.

(2)

$w = X + Y i$ とおく。(1)より

∣2 X - 1∣ = 2 X^{2} + Y^{2} .

両辺を2乗して整理すると

Y^{2} = \frac{1}{4} - X .

範囲を求める。 $z = cos θ + i sin θ$ とおくと

w = \frac{- cos θ + i sin θ}{2 ( 1 - cos θ )},

したがって

X = - \frac{cos θ}{2 ( 1 - cos θ )} .

$c = cos θ$ に対する関数

- \frac{c}{2 ( 1 - c )}

は $- 1 ≦ c ≦ 1/2$ で減少するから

- \frac{1}{2} ≦ X ≦ \frac{1}{4} .

よって軌跡は

Y^{2} = \frac{1}{4} - X, - \frac{1}{2} ≦ X ≦ \frac{1}{4}

で表される放物線の部分である。

解法2

(1)

$z = x + y i$ とおくと $x^{2} + y^{2} = 1$ であり、点 $P$ における接線は

x X + y Y = 1

である。点 $A = (1, 0)$ からこの直線への法線方向の符号つきずれは $x - 1$ なので、対称点は

Q = (1, 0) - 2 (x - 1) (x, y) .

これを複素数で書けば

u = 1 + 2 (1 - x) z .

$2 x = z + \overline{z} = z + 1/ z$ を使うと

u = 2 z - z^{2} .

以下、

w = \frac{1}{( 1 - z ) ^{2}}, \frac{w}{w} = z^{2}, w + \overline{w} - 1 = 2 z w

となるから、求める商は $2$ である。

(2)

$z = e^{i θ}$ とし、

t = cot \frac{θ}{2}

とおく。半角公式より

cos θ = \frac{t ^{2} - 1}{t ^{2} + 1}, sin θ = \frac{2 t}{t ^{2} + 1} .

$w = 1/ (1 - z)^{2}$ の実部、虚部を整理すると

X = \frac{1 - t ^{2}}{4}, Y = \frac{t}{2} .

したがって媒介変数 $t$ を消去して

X = \frac{1}{4} - Y^{2} .

また $Re z = cos θ ≦ 1/2$ は

\frac{t ^{2} - 1}{t ^{2} + 1} ≦ \frac{1}{2} ⟺ t^{2} ≦ 3

と同値である。よって

- \frac{3}{2} ≦ Y ≦ \frac{3}{2},

すなわち

Y^{2} = \frac{1}{4} - X, - \frac{1}{2} ≦ X ≦ \frac{1}{4}

を得る。

東京大学 2018年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東京大学 2018年度
理系数学第5問