横浜国立大学 2018年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x}{cos ^{2} x} d x

を求めよ。

(2) $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ で定義された関数 $f (x)$ が

f (x) cos^{2} x = π - \frac{x}{lo g 2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (t) d t

をみたすとき、 $f (x)$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2018年度前期理系第1問

方針

解法1

(1) は $u = x$ 、 $d v = d x / cos^{2} x$ として部分積分する。(2) は未知の定積分値を

C = \int_{0}^{π /3} f (t) d t

とおくと $f (x)$ が $C$ を含む形で表せるので、両辺を積分して $C$ を決定する。

解法2

(1)では積 $x tan x$ を微分したときに生じる $tan x$ を $lo g (cos x)$ の微分で打ち消し、原始関数を一度に作る。(2)では $g (x) = f (x) cos^{2} x$ とおき、 $g$ が1次関数であることからその傾きを直接決める。

解答

解法1

(1)

部分積分により

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x}{cos ^{2} x} d x = [x tan x]_{0}^{\frac{π}{3}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} tan x d x

である。また

\int tan x d x = - lo g (cos x)

より

\int_{0}^{\frac{π}{3}} tan x d x = lo g 2

であるから

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x}{cos ^{2} x} d x = \frac{π 3}{3} - lo g 2

である。

(2)

C = \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (t) d t

とおく。与式より

f (x) = \frac{π - \frac{C x}{l o g 2}}{cos ^{2} x}

である。これを $0$ から $π /3$ まで積分すると

C = π \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{cos ^{2} x} - \frac{C}{lo g 2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x}{cos ^{2} x} d x

である。したがって(1)を用いて

C = π 3 - \frac{C}{lo g 2} (\frac{π 3}{3} - lo g 2)

となる。これを解くと

C = 3 lo g 2

である。よって

f (x) = \frac{π - 3 x}{cos ^{2} x}

である。

解法2

(1)

\frac{d}{d x} {x tan x + lo g (cos x)} = tan x + \frac{x}{cos ^{2} x} - tan x = \frac{x}{cos ^{2} x} .

したがって

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x}{cos ^{2} x} d x = [x tan x + lo g (cos x)]_{0}^{\frac{π}{3}} = \frac{π 3}{3} - lo g 2.

(2)

g (x) = f (x) cos^{2} x, C = \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (t) d t

とおく。与式から

g (x) = π - k x, k = \frac{C}{lo g 2}

である。よって

f (x) = \frac{π - k x}{cos ^{2} x} .

一方、 $C = k lo g 2$ であり

C = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{π - k t}{cos ^{2} t} d t = π 3 - k (\frac{π 3}{3} - lo g 2) .

したがって

k lo g 2 = π 3 - k (\frac{π 3}{3} - lo g 2) .

両辺の $k lo g 2$ を消去すると

0 = π 3 - \frac{k π 3}{3}

だから

k = 3.

ゆえに

f (x) = \frac{π - 3 x}{cos ^{2} x} .

この関数を与式へ戻せば条件を満たすので、これが求める関数である。

横浜国立大学 2018年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

横浜国立大学 2018年度
理系数学第1問