横浜国立大学 2018年度 前期理系数学 第1問

(1)
部分積分により$${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx={[x\tan x]}_0^{\frac{\pi }{3}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\tan xdx$$である。また$$\int \tan xdx=-\log (\cos x)$$より$${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\tan xdx=\log 2$$であるから$${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx=\frac{\pi \sqrt{3}}{3}-\log 2$$である。

(2) $$C={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(t)dt$$とおく。与式より$$f(x)=\frac{\pi -\frac{Cx}{\log 2}}{{\cos }^{2}x}$$である。これを $0$ から $\pi \mathrm{/}3$ まで積分すると$$C=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{dx}{{\cos }^{2}x}-\frac{C}{\log 2}{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx$$である。したがって(1)を用いて$$C=\pi \sqrt{3}-\frac{C}{\log 2}(\frac{\pi \sqrt{3}}{3}-\log 2)$$となる。これを解くと$$C=3\log 2$$である。よって$$f(x)=\frac{\pi -3x}{{\cos }^{2}x}$$である。

(1) では積 $x\tan x$ を微分したときに生じる $\tan x$ を $\log (\cos x)$ の微分で打ち消し、原始関数を一度に作る。(2)では $g(x)=f(x){\cos }^{2}x$ とおき、$g$ が1次関数であることからその傾きを直接決める。

(1) $$\frac{d}{dx}\{x\tan x+\log (\cos x)\}=\tan x+\frac{x}{{\cos }^{2}x}-\tan x=\frac{x}{{\cos }^{2}x}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx}& {\displaystyle ={[x\tan x+\log (\cos x)]}_0^{\frac{\pi }{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi \sqrt{3}}{3}-\log 2.}\end{array}$$(2)$$g(x)=f(x){\cos }^{2}x,C={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(t)dt$$とおく。与式から$$g(x)=\pi -kx,k=\frac{C}{\log 2}$$である。よって$$f(x)=\frac{\pi -kx}{{\cos }^{2}x}\mathrm{.}$$一方、$C=k\log 2$ であり$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C}& {\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{\pi -kt}{{\cos }^{2}t}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi \sqrt{3}-k(\frac{\pi \sqrt{3}}{3}-\log 2)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$k\log 2=\pi \sqrt{3}-k(\frac{\pi \sqrt{3}}{3}-\log 2)\mathrm{.}$$両辺の $k\log 2$ を消去すると$$0=\pi \sqrt{3}-\frac{k\pi \sqrt{3}}{3}$$だから$$k=3.$$ゆえに$$f(x)=\frac{\pi -3x}{{\cos }^{2}x}\mathrm{.}$$この関数を与式へ戻せば条件を満たすので、これが求める関数である。