横浜国立大学 2018年度理系数学第3問解答・解説

問題

$α$ を複素数とする。 $z \neq = - α$ をみたす複素数 $z$ に対して、 $w = \frac{z + 2 α}{z + α}$ と定める。 $∣ z - 1∣ = 1$ をみたすようなすべての $z$ に対して、 $∣ w - 1∣ = 1$ が成り立つ。次の問いに答えよ。

(1) $α$ を求めよ。

(2) $w = z$ をみたす $z$ を求めよ。

(3) $z_{0} = 1 + i$ とし、 $z \neq = z_{0}$ かつ $z \neq = - α$ とする。複素数平面上の3点 $A (z_{0}), P (z), Q (w)$ を考える。直線 $A P$ と直線 $A Q$ が垂直に交わるような点 $P$ の全体が表す図形を、複素数平面上に図示せよ。

出典：横浜国立大学 2018年度前期理系第3問

方針

解法1

(1) は $w - 1 = α / (z + α)$ と変形し、円 $∣ z - 1∣ = 1$ 上のすべての点が同じ円 $∣ z + α ∣ = ∣ α ∣$ 上にある条件を使う。(3) は $u = z - 1$ とおき、内積条件を複素数の実部で表して軌跡を出す。

解法2

(1)は $∣ w - 1∣ = ∣ α ∣/∣ z + α ∣$ が表す2つの円の一致から決める。(3)は $u = z - 1 = x + y i$ とおき、点 $A, P, Q$ を実座標で表して内積を直接計算し、除外点を最後に戻す。

解答

解法1

(1)

w - 1 = \frac{z + 2 α}{z + α} - 1 = \frac{α}{z + α}

である。したがって $∣ w - 1∣ = 1$ は

∣ z + α ∣ = ∣ α ∣

を意味する。これは中心 $- α$ 、半径 $∣ α ∣$ の円である。この円が $∣ z - 1∣ = 1$ 上のすべての点を含むためには、2つの円が一致しなければならない。よって

- α = 1, ∣ α ∣ = 1

であり、 $α = - 1$ である。

(2)

$α = - 1$ より

w = \frac{z - 2}{z - 1}

である。 $w = z$ とすると

\frac{z - 2}{z - 1} = z

であり、 $z \neq = 1$ のもとで

z^{2} - 2 z + 2 = 0

を得る。したがって

z = 1 + i, 1 - i

である。

(3)

$u = z - 1$ とおくと、 $u \neq = 0, i$ であり、 $z_{0} = 1 + i$ は $u = i$ に対応する。また

w - 1 = - \frac{1}{u}

である。 $u = x + y i (x, y は実数)$ とおく。 $A P$ と $A Q$ が垂直である条件は

Re {(u - i) \overline{(- \frac{1}{u} - i)}} = 0

である。 $x^{2} + y^{2} \neq = 0$ に注意して整理すると

y {2 y - 1 - x^{2} - y^{2}} = 0

すなわち

y = 0 または x^{2} + (y - 1)^{2} = 0

である。後者は $u = i$ 、すなわち $z = z_{0}$ であり除かれる。よって $y = 0$ である。

したがって点 $P$ の全体は実軸である。ただし $u = 0$ 、すなわち $z = 1$ は $z \neq = - α$ に反するので除く。よって、図形は複素数平面の実軸から点 $1$ を除いたものである。

解法2

(1)

w - 1 = \frac{α}{z + α}

だから、 $∣ z - 1∣ = 1$ 上のすべての $z$ に対して

∣ z + α ∣ = ∣ α ∣

が成り立つ。左辺の条件が表す円は中心 $- α$ 、半径 $∣ α ∣$ であり、中心 $1$ 、半径 $1$ の円と一致する。よって

- α = 1, ∣ α ∣ = 1

から

α = - 1.

(2)

w = \frac{z - 2}{z - 1}

なので、 $w = z$ は

z^{2} - 2 z + 2 = 0.

したがって

z = 1 + i, z = 1 - i .

(3)

u = z - 1 = x + y i, r^{2} = x^{2} + y^{2}

とおく。 $z \neq = - α = 1$ より $r^{2} > 0$ である。また

w - 1 = - \frac{1}{u} = - \frac{x - y i}{r ^{2}} .

したがって、実座標で

A = (1, 1), P = (1 + x, y), Q = (1 - \frac{x}{r ^{2}}, \frac{y}{r ^{2}}) .

よって

A P = (x, y - 1), A Q = (- \frac{x}{r ^{2}}, \frac{y}{r ^{2}} - 1) .

垂直条件は内積が $0$ であることだから、両辺に $r^{2}$ を掛けて

0 = - x^{2} + (y - 1) (y - r^{2}) = y (2 y - 1 - r^{2}) = - y {x^{2} + (y - 1)^{2}} .

$z \neq = z_{0} = 1 + i$ より $(x, y) \neq = (0, 1)$ なので

x^{2} + (y - 1)^{2} > 0.

したがって

y = 0.

これは $z$ が実軸上にあることを意味する。ただし $u \neq = 0$ だから $z = 1$ は除く。

よって求める図形は、複素数平面の実軸から点 $1$ を除いたものである。

横浜国立大学 2018年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2018年度
理系数学第3問