横浜国立大学 2018年度 前期理系数学 第3問

(1) $$w-1=\frac{z+2\alpha }{z+\alpha }-1=\frac{\alpha }{z+\alpha }$$である。したがって $\mathrm{\mid }w-1\mathrm{\mid }=1$ は$$\mathrm{\mid }z+\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }$$を意味する。これは中心 $-\alpha$、半径 $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }$ の円である。この円が $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=1$ 上のすべての点を含むためには、2つの円が一致しなければならない。よって$$-\alpha =1,\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$$であり、$\alpha =-1$ である。

(2)
$\alpha =-1$ より$$w=\frac{z-2}{z-1}$$である。$w=z$ とすると$$\frac{z-2}{z-1}=z$$であり、$z\mathrm{\ne }1$ のもとで$$z^2-2z+2=0$$を得る。したがって$$z=1+i,1-i$$である。

(3)
$u=z-1$ とおくと、$u\mathrm{\ne }0,i$ であり、$z_0=1+i$ は $u=i$ に対応する。また$$w-1=-\frac{1}{u}$$である。$$u=x+yi(x,y\text{ は実数})$$ とおく。$\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{AQ}$ が垂直である条件は$$\mathrm{Re}\{(u-i)\overline{(-\frac{1}{u}-i)}\}=0$$である。$x^2+y^2\mathrm{\ne }0$ に注意して整理すると$$y\{2y-1-x^2-y^2\}=0$$すなわち$$y=0\text{または}{x}^2+(y-1{)}^2=0$$である。後者は $u=i$、すなわち $z=z_0$ であり除かれる。よって $y=0$ である。

したがって点 $P$ の全体は実軸である。ただし $u=0$、すなわち $z=1$ は $z\mathrm{\ne }-\alpha$ に反するので除く。よって、図形は複素数平面の実軸から点 $1$ を除いたものである。

(1) は $\mathrm{\mid }w-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{/}\mathrm{\mid }z+\alpha \mathrm{\mid }$ が表す2つの円の一致から決める。(3)は $u=z-1=x+yi$ とおき、点 $A,P,Q$ を実座標で表して内積を直接計算し、除外点を最後に戻す。

(1) $$w-1=\frac{\alpha }{z+\alpha }$$だから、$\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=1$ 上のすべての $z$ に対して$$\mathrm{\mid }z+\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }$$が成り立つ。左辺の条件が表す円は中心 $-\alpha$、半径 $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }$ であり、中心 $1$、半径 $1$ の円と一致する。よって$$-\alpha =1,\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$$から$$\alpha =-1.$$(2)$$w=\frac{z-2}{z-1}$$なので、$w=z$ は$$z^2-2z+2=0.$$したがって$$z=1+i,z=1-i\mathrm{.}$$(3)$$u=z-1=x+yi,r^2=x^2+y^2$$とおく。$z\mathrm{\ne }-\alpha =1$ より $r^2>0$ である。また$$w-1=-\frac{1}{u}=-\frac{x-yi}{r^2}\mathrm{.}$$したがって、実座標で$$A=(1,1),P=(1+x,y),Q=(1-\frac{x}{r^2},\frac{y}{r^2})\mathrm{.}$$よって$$\overrightarrow{AP}=(x,y-1),\overrightarrow{AQ}=(-\frac{x}{r^2},\frac{y}{r^2}-1)\mathrm{.}$$垂直条件は内積が $0$ であることだから、両辺に $r^2$ を掛けて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =-x^2+(y-1)(y-r^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =y(2y-1-r^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-y\{x^2+(y-1{)}^2\}\mathrm{.}}\end{array}$$$z\mathrm{\ne }{z}_0=1+i$ より $(x,y)\mathrm{\ne }(0,1)$ なので$$x^2+(y-1{)}^2>0.$$したがって$$y=0.$$これは $z$ が実軸上にあることを意味する。ただし $u\mathrm{\ne }0$ だから $z=1$ は除く。

よって求める図形は、複素数平面の実軸から点 $1$ を除いたものである。