横浜国立大学 2018年度 前期理系数学 第5問

(1)
$y=1\mathrm{/}x$ の導関数は $-1\mathrm{/}{x}^2$ である。よって $P(t,1\mathrm{/}t)$ における接線は$$y-\frac{1}{t}=-\frac{1}{t^2}(x-t)$$すなわち$$y=-\frac{x}{t^2}+\frac{2}{t}$$である。

(2)
$C_1$ と $C_2$ の共有点の $x$ 座標は$$x^2+ax+b=\frac{1}{x}$$すなわち$$x^3+a{x}^2+bx-1=0$$の解である。この方程式は $x=t$ を解にもつ。第3象限の共有点がただ1つであるため、残り2つの解は同じ負の数である。これを $-u(u>0)$ とおくと、解の積より$$t{u}^2=1$$であるから $$u=1\mathrm{/}\sqrt{t}$$ である。したがって$$x^3+a{x}^2+bx-1=(x-t){(x+\frac{1}{\sqrt{t}})}^2$$である。係数を比較して$$a=\frac{2}{\sqrt{t}}-t,b=\frac{1}{t}-2\sqrt{t}$$を得る。

(3)
(1)の直線と $C_2$ の差を考える。$C_2-l=0$ の一つの解は $x=t$ である。もう一つの解を $s$ とすると$$ts=b-\frac{2}{t}=-\frac{1}{t}-2\sqrt{t}$$より$$s=-\frac{1}{t^2}-\frac{2}{\sqrt{t}}$$である。$s<x<t$ で直線が放物線の上にあるから$$S={\int }_s^t\{l-C_2\}dx={\int }_s^t-(x-s)(x-t)dx=\frac{(t-s{)}^3}{6}$$である。したがって$$S=\frac{1}{6}{(t+\frac{2}{\sqrt{t}}+\frac{1}{t^2})}^3$$である。

(4) $$D=t+\frac{2}{\sqrt{t}}+\frac{1}{t^2}$$を最小にすればよい。$$u=\sqrt{t}(u>0)$$ とおくと$$D=u^2+\frac{2}{u}+\frac{1}{u^4}$$である。微分して$$\frac{dD}{du}=2u-\frac{2}{u^2}-\frac{4}{u^5}=\frac{2(u^6-u^3-2)}{u^5}$$である。よって $u^3=2$ のとき最小となる。このとき $t=u^2=2^{2\mathrm{/}3}$ であり、$u^6=4$ から$$D_{\min }=u^2+u^2+\frac{u^2}{4}=\frac{9u^2}{4}$$である。したがって$$S_{\min }=\frac{1}{6}{\left(\frac{9u^2}{4}\right)}^3=\frac{243}{32}$$である。

第3象限の唯一の共有点を $x=-u$ とおき、そこで2曲線が接することから関数値と微分係数を一致させる。面積は放物線と直線の差を交点で因数分解し、最小化は相加平均・相乗平均で処理する。

(1) $$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}$$より、点 $P$ における接線は$$l:y-\frac{1}{t}=-\frac{1}{t^2}(x-t)\mathrm{.}$$したがって$$l:y=-\frac{x}{t^2}+\frac{2}{t}\mathrm{.}$$(2)

第3象限の共有点の $x$ 座標を $-u$、$u>0$ とする。交点方程式は3次方程式で、正の解 $t$ をすでにもつ。負の共有点がただ1つなので、残り2つの負の解は一致し、$-u$ は重解である。したがって $C_1$ と $C_2$ は $x=-u$ で接する。

関数値と微分係数を一致させると$$u^2-au+b=-\frac{1}{u},-2u+a=-\frac{1}{u^2}\mathrm{.}$$後式から$$a=2u-\frac{1}{u^2}$$であり、前式へ代入して$$b=u^2-\frac{2}{u}\mathrm{.}$$一方、点 $P$ を通る条件は$$t^2+at+b=\frac{1}{t}\mathrm{.}$$上の $a,b$ を代入して左辺へ移すと$$(t-\frac{1}{u^2})(t+u{)}^2=0.$$$t>0$、$u>0$ だから$$t=\frac{1}{u^2},u=\frac{1}{\sqrt{t}}\mathrm{.}$$よって$$a=\frac{2}{\sqrt{t}}-t,b=\frac{1}{t}-2\sqrt{t}\mathrm{.}$$(3)

$C_2$ と $l$ の交点の一つは $x=t$ である。もう一つを $x=s$ とすると、2次方程式の解の積から$$ts=b-\frac{2}{t}=-\frac{1}{t}-2\sqrt{t}$$なので$$s=-\frac{1}{t^2}-\frac{2}{\sqrt{t}}\mathrm{.}$$区間 $s<x<t$ では$$l-C_2=(t-x)(x-s)\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_s^t(t-x)(x-s)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t-s{)}^3{\int }_0^{1}v(1-v)dv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(t-s{)}^3}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $x=s+(t-s)v$ と変数変換した。ゆえに$$S=\frac{1}{6}{(t+\frac{2}{\sqrt{t}}+\frac{1}{t^2})}^3\mathrm{.}$$(4)$$u=\sqrt{t}>0$$ とおくと$$t+\frac{2}{\sqrt{t}}+\frac{1}{t^2}=u^2+\frac{2}{u}+\frac{1}{u^4}={(u+\frac{1}{u^2})}^2\mathrm{.}$$相加平均・相乗平均の関係より$$\frac{u}{2}+\frac{u}{2}+\frac{1}{u^2}\geqq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2^{2\mathrm{/}3}}\mathrm{.}$$等号は$$\frac{u}{2}=\frac{1}{u^2},u^3=2$$のときに成り立つ。したがって$$\min (t+\frac{2}{\sqrt{t}}+\frac{1}{t^2})=\frac{9}{2^{4\mathrm{/}3}}\mathrm{.}$$よって$$S_{\min }=\frac{1}{6}{\left(\frac{9}{2^{4\mathrm{/}3}}\right)}^3=\frac{243}{32}\mathrm{.}$$