横浜国立大学 2018年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に双曲線

C_{1} : y = \frac{1}{x}

がある。 $C_{1}$ 上の点

P (t, \frac{1}{t}) (t > 0)

における $C_{1}$ の接線を $l$ とする。放物線

C_{2} : y = x^{2} + a x + b

（ $a, b$ は実数）は点 $P$ を通り、 $C_{1}$ と第3象限において共有点をただ1つもつとする。 $C_{2}$ と $l$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $l$ の方程式を求めよ。

(2) $a, b$ をそれぞれ $t$ の式で表せ。

(3) $S$ を $t$ の式で表せ。

(4) $t$ が正の実数全体を動くとき、 $S$ の最小値を求めよ。

出典：横浜国立大学 2018年度前期理系第5問

方針

解法1

$C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点は $x^{3} + a x^{2} + b x - 1 = 0$ の解で表される。正の解 $t$ を1つもち、第3象限で共有点がただ1つであるため、残りの負の解は重解になる。これで $a, b$ を求め、直線と放物線の2交点間の面積公式を積分で出す。

解法2

第3象限の唯一の共有点を $x = - u$ とおき、そこで2曲線が接することから関数値と微分係数を一致させる。面積は放物線と直線の差を交点で因数分解し、最小化は相加平均・相乗平均で処理する。

解答

解法1

(1)

$y = 1/ x$ の導関数は $- 1/ x^{2}$ である。よって $P (t, 1/ t)$ における接線は

y - \frac{1}{t} = - \frac{1}{t ^{2}} (x - t)

すなわち

y = - \frac{x}{t ^{2}} + \frac{2}{t}

である。

(2)

$C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点の $x$ 座標は

x^{2} + a x + b = \frac{1}{x}

すなわち

x^{3} + a x^{2} + b x - 1 = 0

の解である。この方程式は $x = t$ を解にもつ。第3象限の共有点がただ1つであるため、残り2つの解は同じ負の数である。これを $- u (u > 0)$ とおくと、解の積より

t u^{2} = 1

であるから $u = 1/ t$ である。したがって

x^{3} + a x^{2} + b x - 1 = (x - t) (x + \frac{1}{t})^{2}

である。係数を比較して

a = \frac{2}{t} - t, b = \frac{1}{t} - 2 t

を得る。

(3)

(1)の直線と $C_{2}$ の差を考える。 $C_{2} - l = 0$ の一つの解は $x = t$ である。もう一つの解を $s$ とすると

t s = b - \frac{2}{t} = - \frac{1}{t} - 2 t

より

s = - \frac{1}{t ^{2}} - \frac{2}{t}

である。 $s < x < t$ で直線が放物線の上にあるから

S = \int_{s}^{t} {l - C_{2}} d x = \int_{s}^{t} - (x - s) (x - t) d x = \frac{( t - s ) ^{3}}{6}

である。したがって

S = \frac{1}{6} (t + \frac{2}{t} + \frac{1}{t ^{2}})^{3}

である。

(4)

D = t + \frac{2}{t} + \frac{1}{t ^{2}}

を最小にすればよい。 $u = t (u > 0)$ とおくと

D = u^{2} + \frac{2}{u} + \frac{1}{u ^{4}}

である。微分して

\frac{d D}{d u} = 2 u - \frac{2}{u ^{2}} - \frac{4}{u ^{5}} = \frac{2 ( u ^{6} - u ^{3} - 2 )}{u ^{5}}

である。よって $u^{3} = 2$ のとき最小となる。このとき $t = u^{2} = 2^{2/3}$ であり、 $u^{6} = 4$ から

D_{m i n} = u^{2} + u^{2} + \frac{u ^{2}}{4} = \frac{9 u ^{2}}{4}

である。したがって

S_{m i n} = \frac{1}{6} (\frac{9 u ^{2}}{4})^{3} = \frac{243}{32}

である。

解法2

(1)

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) = - \frac{1}{x ^{2}}

より、点 $P$ における接線は

l : y - \frac{1}{t} = - \frac{1}{t ^{2}} (x - t) .

したがって

l : y = - \frac{x}{t ^{2}} + \frac{2}{t} .

(2)

第3象限の共有点の $x$ 座標を $- u$ 、 $u > 0$ とする。交点方程式は3次方程式で、正の解 $t$ をすでにもつ。負の共有点がただ1つなので、残り2つの負の解は一致し、 $- u$ は重解である。したがって $C_{1}$ と $C_{2}$ は $x = - u$ で接する。

関数値と微分係数を一致させると

u^{2} - a u + b = - \frac{1}{u}, - 2 u + a = - \frac{1}{u ^{2}} .

後式から

a = 2 u - \frac{1}{u ^{2}}

であり、前式へ代入して

b = u^{2} - \frac{2}{u} .

一方、点 $P$ を通る条件は

t^{2} + a t + b = \frac{1}{t} .

上の $a, b$ を代入して左辺へ移すと

(t - \frac{1}{u ^{2}}) (t + u)^{2} = 0.

$t > 0$ 、 $u > 0$ だから

t = \frac{1}{u ^{2}}, u = \frac{1}{t} .

よって

a = \frac{2}{t} - t, b = \frac{1}{t} - 2 t .

(3)

$C_{2}$ と $l$ の交点の一つは $x = t$ である。もう一つを $x = s$ とすると、2次方程式の解の積から

t s = b - \frac{2}{t} = - \frac{1}{t} - 2 t

なので

s = - \frac{1}{t ^{2}} - \frac{2}{t} .

区間 $s < x < t$ では

l - C_{2} = (t - x) (x - s) .

したがって

S = \int_{s}^{t} (t - x) (x - s) d x = (t - s)^{3} \int_{0}^{1} v (1 - v) d v = \frac{( t - s ) ^{3}}{6} .

ここで $x = s + (t - s) v$ と変数変換した。ゆえに

S = \frac{1}{6} (t + \frac{2}{t} + \frac{1}{t ^{2}})^{3} .

(4)

$u = t > 0$ とおくと

t + \frac{2}{t} + \frac{1}{t ^{2}} = u^{2} + \frac{2}{u} + \frac{1}{u ^{4}} = (u + \frac{1}{u ^{2}})^{2} .

相加平均・相乗平均の関係より

\frac{u}{2} + \frac{u}{2} + \frac{1}{u ^{2}} ≧ 3 3 \frac{1}{4} = \frac{3}{2 ^{2/3}} .

等号は

\frac{u}{2} = \frac{1}{u ^{2}}, u^{3} = 2

のときに成り立つ。したがって

min (t + \frac{2}{t} + \frac{1}{t ^{2}}) = \frac{9}{2 ^{4/3}} .

よって

S_{m i n} = \frac{1}{6} (\frac{9}{2 ^{4/3}})^{3} = \frac{243}{32} .

横浜国立大学 2018年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

横浜国立大学 2018年度
理系数学第5問