横浜国立大学 2019年度理系数学第1問解答・解説

問題

三角形 $O A B$ があり，各辺の長さは $O A = 1, O B = 3, A B = 2$ である。自然数 $n$ に対し，

A P_{k} = \frac{k}{n} A B (k = 1, 2, \dots, n)

となるような点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ を辺 $A B$ 上にとる。次の問いに答えよ。

(1) 線分 $O P_{k} (k = 1, 2, \dots, n)$ の長さを求めよ。

(2) 極限値

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{( O P _{k} ) ^{2}}

を求めよ。

出典：横浜国立大学 2019年度前期理系第1問

方針

解法1

$O A^{2} + O B^{2} = A B^{2}$ から $∠ A O B = 9 0^{\circ}$ と分かるので，座標を置く。 $P_{k}$ を $A$ から $B$ へ $k / n$ だけ進んだ点として表し， $O P_{k}^{2}$ を得る。(2) は $k / n$ を変数とする区分求積法で定積分に直す。

解法2

座標を置かず、内分点の距離公式で $O P_{k}^{2}$ を求める。その後、変数変換を先に設計して逆正接の端点値を読む。

解答

解法1

(1)

O A^{2} + O B^{2} = 1 + 3 = 4 = A B^{2}

であるから， $∠ A O B = 9 0^{\circ}$ である。座標を

O = (0, 0), A = (1, 0), B = (0, 3)

とおく。 $t = \frac{k}{n}$ とすると， $P_{k}$ は $A$ から $B$ へ $t$ だけ進んだ点なので

P_{k} = (1 - t, 3 t)

である。したがって

(O P_{k})^{2} = (1 - t)^{2} + 3 t^{2} = 4 t^{2} - 2 t + 1

より

O P_{k} = 4 (\frac{k}{n})^{2} - 2 \frac{k}{n} + 1

である。

(2)

(1)より与式は区間 $[0, 1]$ の区分求積であるから，極限値は

\int_{0}^{1} \frac{d x}{4 x ^{2} - 2 x + 1}

である。ここで

4 x^{2} - 2 x + 1 = \frac{( 4 x - 1 ) ^{2} + 3}{4}

なので

\int_{0}^{1} \frac{d x}{4 x ^{2} - 2 x + 1} = \frac{1}{3} [tan^{- 1} \frac{4 x - 1}{3}]_{0}^{1} .

したがって

\frac{1}{3} (\frac{π}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{π}{2 3} .

解法2

(1)

$t = k / n$ とおく。 $P_{k}$ は $A P_{k} : P_{k} B = t : (1 - t)$ をみたすから、ベクトルを展開すると

O P_{k}^{2} = (1 - t) O A^{2} + tO B^{2} - t (1 - t) A B^{2} .

ここへ $O A^{2} = 1, O B^{2} = 3, A B^{2} = 4$ を代入して

O P_{k}^{2} = (1 - t) + 3 t - 4 t (1 - t) = 4 t^{2} - 2 t + 1.

よって

O P_{k} = 4 (k / n)^{2} - 2 (k / n) + 1 .

(2)

連続関数 $h (x) = 1/ (4 x^{2} - 2 x + 1)$ に対する右端型の区分求積だから、極限は $\int_{0}^{1} h (x) d x$ である。

u = \frac{4 x - 1}{3}

とおくと、 $x = 0, 1$ はそれぞれ $u = - 1/ 3, 3$ に対応し、

\int_{0}^{1} \frac{d x}{4 x ^{2} - 2 x + 1} = \frac{1}{3} \int_{- 1/ 3}^{3} \frac{d u}{1 + u ^{2}} .

したがって

\frac{1}{3} (\frac{π}{3} - (- \frac{π}{6})) = \frac{π}{2 3} .

横浜国立大学 2019年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

横浜国立大学 2019年度
理系数学第1問