横浜国立大学 2019年度 前期理系数学 第1問

(1) $$O{A}^2+O{B}^2=1+3=4=A{B}^2$$であるから，$\mathrm{\angle }AOB={90}^{\circ }$ である。座標を$$O=(0,0),A=(1,0),B=(0,\sqrt{3})$$とおく。$$t={\displaystyle \frac{k}{n}}$$ とすると，$P_k$ は $A$ から $B$ へ $t$ だけ進んだ点なので$$P_k=(1-t,\sqrt{3}t)$$である。したがって$$(O{P}_k{)}^2=(1-t{)}^2+3t^2=4t^2-2t+1$$より$$O{P}_k=\sqrt{4{\left(\frac{k}{n}\right)}^2-2\frac{k}{n}+1}$$である。

(2)
(1)より与式は区間 $[0,1]$ の区分求積であるから，極限値は$${\int }_0^1\frac{dx}{4x^2-2x+1}$$である。ここで$$4x^2-2x+1=\frac{(4x-1{)}^2+3}{4}$$なので，$u=(4x-1)\mathrm{/}\sqrt{3}$ とおくと$${\int }_0^1\frac{dx}{4x^2-2x+1}=\frac{1}{\sqrt{3}}{\int }_{-1\mathrm{/}\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\frac{du}{1+u^2}\mathrm{.}$$さらに $u=\tan \theta$ とおく。 $-\pi \mathrm{/}2<\theta <\pi \mathrm{/}2$ の範囲で，両端はそれぞれ $\theta =-\pi \mathrm{/}6,\pi \mathrm{/}3$ に対応するから$$\frac{1}{\sqrt{3}}{\int }_{-\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}3}d\theta =\frac{\pi }{2\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

座標を置かず、内分点の距離公式で $O{P}_k^2$ を求める。その後、変数変換を先に設計し、$u=\tan \theta$ と置いて端点に対応する角を求める。

(1)
$t=k\mathrm{/}n$ とおく。$P_k$ は $A{P}_k:P_{k}B=t:(1-t)$ をみたすから、ベクトルを展開すると$$O{P}_k^2=(1-t)O{A}^2+tO{B}^2-t(1-t)A{B}^2\mathrm{.}$$ここへ $O{A}^2=1,O{B}^2=3,A{B}^2=4$ を代入して$$O{P}_k^2=(1-t)+3t-4t(1-t)=4t^2-2t+1.$$よって$$O{P}_k=\sqrt{4(k\mathrm{/}n{)}^2-2(k\mathrm{/}n)+1}\mathrm{.}$$(2)
連続関数 $h(x)=1\mathrm{/}(4x^2-2x+1)$ に対する右端型の区分求積だから、極限は ${\int }_0^{1}h(x)dx$ である。$$u=\frac{4x-1}{\sqrt{3}}$$とおくと、$x=0,1$ はそれぞれ $u=-1\mathrm{/}\sqrt{3},\sqrt{3}$ に対応し、$${\int }_0^1\frac{dx}{4x^2-2x+1}=\frac{1}{\sqrt{3}}{\int }_{-1\mathrm{/}\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\frac{du}{1+u^2}\mathrm{.}$$さらに $u=\tan \theta$ とおくと、$u=-1\mathrm{/}\sqrt{3},\sqrt{3}$ はそれぞれ $\theta =-\pi \mathrm{/}6,\pi \mathrm{/}3$ に対応する。したがって$$\frac{1}{\sqrt{3}}{\int }_{-\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}3}d\theta =\frac{\pi }{2\sqrt{3}}\mathrm{.}$$