横浜国立大学 2019年度
理系数学 第5問
- 試験区分
- 前期
- 対象
- 理工学部・都市科学部
- 分野
- 微分、積分、三角関数、指数・対数
- 解法
- 増減表、体積計算、定積分評価
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 18分
問題
2つの関数
f(x)=e−xsinx(0≦x≦2π),g(x)=−e−x(0≦x≦2π)
について，次の問いに答えよ。
(1) f(x)が最小値をとるときのxの値を求めよ。
(2) f(x)=g(x)を満たすxの値を求めよ。
(3) 2曲線C1:y=f(x), C2:y=g(x)とy軸で囲まれる部分を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
出典：横浜国立大学 2019年度 前期 理系 第5問
方針
解法1
(1) は f′(x)=e−x(cosx−sinx) の符号と端点値を調べる。(2) は e−x>0 を消して sinx=−1 とする。(3) は囲まれる範囲が 0≦x≦3π/2 であることを確認し，0≦x≦π では円板，π≦x≦3π/2 では中抜きの断面として体積を積分する。
解法2
導関数の符号を位相をずらした余弦で読み、領域を先に図示する。体積は 0≦x≦3π/2 の外側の円板から、π≦x≦3π/2 にだけ生じる内側の穴を引く。
解答
解法1
(1)
f′(x)=e−x(cosx−sinx).
0≦x≦2π での停留点は x=π/4,5π/4 である。端点と合わせて値を比べると
f(0)=f(2π)=0,f(4π)=2e−π/4,f(45π)=−2e−5π/4.
よって最小値をとるのは x=5π/4 である。
(2)
e−x>0 だから
f(x)=g(x)⟺sinx=−1.
したがって x=3π/2 である。
(3)
2曲線と y 軸で囲まれる部分は 0≦x≦3π/2 にある。0≦x≦π では領域が x 軸をまたぐので、回転断面は半径 e−x の円である。π≦x≦3π/2 では両曲線が x 軸の下側にあり、断面は円環になる。よって
V=π∫0πe−2xdx+π∫π3π/2e−2xcos2xdx.
ここで
∫0πe−2xdx=21−e−2π,∫π3π/2e−2xcos2xdx=83e−2π−e−3π.
したがって
V=8π(4−e−2π−e−3π).
解法2
(1)
この符号は x=π/4 で正から負、x=5π/4 で負から正へ変わる。よって前者が極大、後者が極小であり、端点値も0なので
x=45π.
(2)
正の因子 e−x を消去して sinx=−1 を解けば
x=23π.
(3)
囲まれる領域は次の色付き部分である。
各 x で外半径は e−x である。0≦x≦π では領域が軸をまたぐため穴はなく、π≦x≦3π/2 だけ内半径 −e−xsinx の穴がある。したがって
V=π∫03π/2e−2xdx−π∫π3π/2e−2xsin2xdx.(1)
積分値は
∫03π/2e−2xdx=21−e−3π,
∫π3π/2e−2xsin2xdx=8e−2π−3e−3π.
これらを(1)へ代入して
V=8π(4−e−2π−e−3π).
