横浜国立大学 2019年度 前期理系数学 第5問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x)\mathrm{.}$$$0\leqq x\leqq 2\pi$ での停留点は $x=\pi \mathrm{/}4,5\pi \mathrm{/}4$ である。端点と合わせて値を比べると$$f(0)=f(2\pi )=0,f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{e^{-\pi \mathrm{/}4}}{\sqrt{2}},f\left(\frac{5\pi }{4}\right)=-\frac{e^{-5\pi \mathrm{/}4}}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$よって最小値をとるのは $x=5\pi \mathrm{/}4$ である。

(2)
$e^{-x}>0$ だから$$f(x)=g(x)⟺\sin x=-1.$$したがって $x=3\pi \mathrm{/}2$ である。

(3)
2曲線と $y$ 軸で囲まれる部分は $0\leqq x\leqq 3\pi \mathrm{/}2$ にある。$0\leqq x\leqq \pi$ では領域が $x$ 軸をまたぐので、回転断面は半径 $e^{-x}$ の円である。$\pi \leqq x\leqq 3\pi \mathrm{/}2$ では両曲線が $x$ 軸の下側にあり、断面は円環になる。よって$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{e}^{-2x}dx+\pi {\int }_{\pi }^{3\pi \mathrm{/}2}{e}^{-2x}{\cos }^{2}xdx\mathrm{.}$$ここで$${\int }_0^{\pi }{e}^{-2x}dx=\frac{1-e^{-2\pi }}{2},{\int }_{\pi }^{3\pi \mathrm{/}2}{e}^{-2x}{\cos }^{2}xdx=\frac{3e^{-2\pi }-e^{-3\pi }}{8}\mathrm{.}$$したがって$$V=\frac{\pi }{8}(4-e^{-2\pi }-e^{-3\pi })\mathrm{.}$$

導関数の符号を位相をずらした余弦で読み、領域を先に図示する。体積は $0\leqq x\leqq 3\pi \mathrm{/}2$ の外側の円板から、$\pi \leqq x\leqq 3\pi \mathrm{/}2$ にだけ生じる内側の穴を引く。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sqrt{2}{e}^{-x}\cos (x+\frac{\pi }{4})\mathrm{.}$$この符号は $x=\pi \mathrm{/}4$ で正から負、$x=5\pi \mathrm{/}4$ で負から正へ変わる。よって前者が極大、後者が極小であり、端点値も0なので$$x=\frac{5\pi }{4}\mathrm{.}$$(2)
正の因子 $e^{-x}$ を消去して $\sin x=-1$ を解けば$$x=\frac{3\pi }{2}\mathrm{.}$$(3)
囲まれる領域は次の色付き部分である。

各 $x$ で外半径は $e^{-x}$ である。$0\leqq x\leqq \pi$ では領域が軸をまたぐため穴はなく、$\pi \leqq x\leqq 3\pi \mathrm{/}2$ だけ内半径 $-e^{-x}\sin x$ の穴がある。したがって$$\begin{array}{cccc}& V=\pi {\int }_0^{3\pi \mathrm{/}2}{e}^{-2x}dx-\pi {\int }_{\pi }^{3\pi \mathrm{/}2}{e}^{-2x}{\sin }^{2}xdx\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$積分値は$${\int }_0^{3\pi \mathrm{/}2}{e}^{-2x}dx=\frac{1-e^{-3\pi }}{2},$$$${\int }_{\pi }^{3\pi \mathrm{/}2}{e}^{-2x}{\sin }^{2}xdx=\frac{e^{-2\pi }-3e^{-3\pi }}{8}\mathrm{.}$$これらを(1)へ代入して$$V=\frac{\pi }{8}(4-e^{-2\pi }-e^{-3\pi })\mathrm{.}$$