横浜国立大学 2020年度 前期文系数学 第2問

(1)

箱 $A$ から取り出す2個の色と、その後の箱 $B$ の状態を整理すると$$\begin{array}{cccc}\text{移した色}& \text{確率}& \text{箱 }B\text{ の白玉数}& n\text{ 回とも白の確率}\\ \text{白白}& {\displaystyle \frac{1}{6}}& 3& 1\\ \text{白赤}& {\displaystyle \frac{4}{6}}& 2& {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\\ \text{赤赤}& {\displaystyle \frac{1}{6}}& 1& {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\end{array}$$となる。したがって$$p_2=\frac{1}{6}+\frac{4}{6}{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{1}{6}{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{13}{27}\mathrm{.}$$また「最初が白白、かつ2回とも白」の確率は $1\mathrm{/}6$ なので$$q_2=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{13}{27}}=\frac{9}{26}\mathrm{.}$$(2)

同じ表から$$p_n=\frac{1}{6}+\frac{4}{6}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\frac{1}{6}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{3^n+2^{n+2}+1}{6\cdot 3^n}\mathrm{.}$$また$$q_n=\frac{\frac{1}{6}}{p_n}=\frac{3^n}{3^n+2^{n+2}+1}\mathrm{.}$$(3)

条件は$$3^n>2^{n+2}+1.$$$n=1,2,3$ では成り立たず、$n=4$ では$$3^4=81>65=2^6+1.$$さらに$$h_n=3^n-2^{n+2}-1$$とおけば$$h_{n+1}=3h_n+2^{n+2}+2.$$したがって $h_n>0$ となった後は正のままである。よって最小の $n$ は$$4$$である。

3状態の事前確率と「すべて白」という観測の尤度を掛け、観測後の重みを比で並べる。正規化前の重みだけで $q_n$ が求まり、同じ重みの総和から $p_n$ も復元できる。

(1)

最初に移した色を$$H_2=\text{白白},H_1=\text{白赤},H_0=\text{赤赤}$$とする。それぞれの事前確率の比は$$P(H_2):P(H_1):P(H_0)=1:4:1.$$「$n$ 回とも白」という観測を $W_n$ とすると$$P(W_n\mid H_2)=1,P(W_n\mid H_1)={\left(\frac{2}{3}\right)}^n,P(W_n\mid H_0)={\left(\frac{1}{3}\right)}^n\mathrm{.}$$したがって観測後の正規化前の重みは$$1,4{\left(\frac{2}{3}\right)}^n,{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\mathrm{.}$$$n=2$ のとき、正規化前の重みは$$1,\frac{16}{9},\frac{1}{9}$$だから$$q_2=\frac{9}{26}\mathrm{.}$$また全確率から$$p_2=\frac{13}{27}\mathrm{.}$$(2)

一般の $n$ について、上の重みから$$q_n=\frac{1}{1+4{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}=\frac{3^n}{3^n+2^{n+2}+1}\mathrm{.}$$また$$p_n=\frac{1}{6}\{1+4{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\}=\frac{3^n+2^{n+2}+1}{6\cdot 3^n}\mathrm{.}$$(3)

$q_n>1\mathrm{/}2$ は$$3^n>2^{n+2}+1$$と同値である。解法1の $h_n$ の関係から、最小の $n$ は$$4$$である。