横浜国立大学 2020年度 前期 複素数平面・整数理系数学 第2問

(1)

分母の共役複素数を掛けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z}& {\displaystyle =\frac{(A+\sqrt{5}Bi)(C-\sqrt{5}Di)}{C^2+5D^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{AC+5BD}{C^2+5D^2}+\frac{\sqrt{5}(BC-AD)}{C^2+5D^2}i\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$x=\frac{AC+5BD}{C^2+5D^2},y=\frac{\sqrt{5}(BC-AD)}{C^2+5D^2}\mathrm{.}$$(2)

条件 $AD-BC=-1$ から$$BC-AD=1.$$虚部を比較すると$$\frac{\sqrt{5}}{C^2+5D^2}=\frac{\sqrt{5}}{29}$$だから$$C^2+5D^2=29.$$$D>0$ であり、$D\geqq 3$ なら左辺は45以上になる。$D=1$ では $C^2=24$ となり不適で、$D=2$ では$$C^2=9.$$よって$$D=2,C=\pm 3.$$実部の比較から$$AC+5BD=16.$$$C=3,D=2$ のとき$$3A+10B=16,2A-3B=-1$$となるが、解は整数でない。

$C=-3,D=2$ のとき$$-3A+10B=16,2A+3B=-1.$$これを解くと$$A=-2,B=1.$$したがって$$(A,B,C,D)=(-2,1,-3,2)\mathrm{.}$$

分数形の複素数をそのまま交差に掛け、実部と虚部の一次式を作る。そこから $AD-BC$ を計算すると、$A,B$ が消えて $C^2+5D^2=29$ が直接得られる。

(1)

共役複素数を掛ければ$$x=\frac{AC+5BD}{C^2+5D^2},y=\frac{\sqrt{5}(BC-AD)}{C^2+5D^2}\mathrm{.}$$(2)

与えられた複素数の等式を交差に掛けると$$29(A+\sqrt{5}Bi)=(16+\sqrt{5}i)(C+\sqrt{5}Di)\mathrm{.}$$右辺を展開して実部・虚部を比較すると$$29A=16C-5D,29B=C+16D\mathrm{.}$$したがって$$A=\frac{16C-5D}{29},B=\frac{C+16D}{29}\mathrm{.}$$これを $AD-BC$ に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle AD-BC}& {\displaystyle =\frac{D(16C-5D)-C(C+16D)}{29}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{C^2+5D^2}{29}\mathrm{.}}\end{array}$$条件 $AD-BC=-1$ より$$C^2+5D^2=29.$$$D>0$ から$$D=2,C=\pm 3.$$$C=3,D=2$ では$$A=\frac{38}{29},B=\frac{35}{29}$$となって整数でない。一方 $C=-3,D=2$ では$$A=-2,B=1.$$よって$$(A,B,C,D)=(-2,1,-3,2)$$である。