横浜国立大学 2020年度 前期理系数学 第4問

(1)

直線 $l$ の方向ベクトルとして$$(-2,2,-1)$$をとると、$l$ 上の点は$$(1-2s,2+2s,9-s)$$と表せる。

$PR\perp xy$ 平面で $R$ が $x$ 軸上にあるため、$P$ の $y$ 座標は0である。よって$$2+2s=0$$から $s=-1$ となり$$P=(3,0,10),R=(3,0,0)\mathrm{.}$$(2)$$Q=(1-2s,2+2s,9-s)$$とする。$QS\perp x$ 軸で $S$ が $x$ 軸上にあるので$$S=(1-2s,0,0),$$したがって$$\overrightarrow{SQ}=(0,2+2s,9-s)\mathrm{.}$$これが $l$ の方向ベクトルと垂直だから$$(0,2+2s,9-s)\cdot (-2,2,-1)=0.$$すなわち$$2(2+2s)-(9-s)=0$$より $s=1$ である。よって$$Q=(-1,4,8),S=(-1,0,0)\mathrm{.}$$(3)

$x=1-2s$ だから$$s=\frac{1-x}{2}\mathrm{.}$$線分 $PQ$ 上で$$-1\leqq x\leqq 3$$であり$$y=3-x,z=\frac{17+x}{2}\mathrm{.}$$したがって $x$ 軸からの距離の二乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \rho (x{)}^2}& {\displaystyle =y^2+z^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(3-x{)}^2+{\left(\frac{17+x}{2}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5x^2+10x+325}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$よって体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_{-1}^3\rho (x{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{4}{\int }_{-1}^3(5x^2+10x+325)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1040\pi }{3}\mathrm{.}}\end{array}$$回転体の軸を含む平面で見た断面は、次のように上下が $\rho (x)$ と $-\rho (x)$ で囲まれる。

点 $P,Q$ は直線の別の媒介表示で求める。体積では区間 $[-1,3]$ の中点 $x=1$ を基準に $u=x-1$ とおくと、半径の二乗の一次項が奇関数となり、対称区間で積分が消える。

(1)

直線を$$(1,2,9)+t(-4,4,-2)$$と表す。$P$ の $y$ 座標が0だから$$2+4t=0,$$よって$$t=-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$したがって$$P=(3,0,10),R=(3,0,0)\mathrm{.}$$(2)$$Q=(1-4t,2+4t,9-2t)$$とすると$$S=(1-4t,0,0)$$である。ゆえに$$\overrightarrow{SQ}=(0,2+4t,9-2t)\mathrm{.}$$これと方向ベクトル $(-4,4,-2)$ の内積を0とすると$$4(2+4t)-2(9-2t)=0,$$したがって$$t=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$よって$$Q=(-1,4,8),S=(-1,0,0)\mathrm{.}$$(3)

解法1より$$\rho (x{)}^2=\frac{5x^2+10x+325}{4}\mathrm{.}$$ここで$$u=x-1$$とおくと、積分区間は $-2\leqq u\leqq 2$ となり$$\rho (x{)}^2=85+5u+\frac{5}{4}{u}^2\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_{-2}^2(85+5u+\frac{5}{4}{u}^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (340+\frac{5}{4}\cdot \frac{16}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1040\pi }{3}\mathrm{.}}\end{array}$$一次項 $5u$ は奇関数なので、対称区間での積分が0になる。