横浜国立大学 2024年度理系数学第4問解答・解説

問題

$α$ を， $∣ α ∣ < 1$ をみたす複素数とする。 $\overline{α} z \neq = 1$ となる複素数 $z$ に対して，

w = \frac{α - z}{1 - α z}

と定める。ただし， $\overline{α}$ は $α$ の共役複素数を表す。次の問いに答えよ。

(1) $z$ が $∣ z ∣ = \frac{1}{3}$ をみたしながら動くとき， $w$ の描く図形 $D$ を求め， $α = \frac{1}{2}$ のとき， $D$ を複素数平面に図示せよ。

(2) $α$ が $∣ α ∣ = \frac{1}{2}$ をみたしながら動くとき，(1)で求めた図形 $D$ が通過する範囲 $E$ を求め， $E$ を複素数平面に図示せよ。

出典：横浜国立大学 2024年度前期理系第4問

方針

解法1：逆変換して円の方程式を平方完成

変換式を $z$ について解き、 $∣ z ∣ = 1/3$ を $w$ の絶対値方程式へ移す。展開・平方完成で中心と半径を出し、中心円と固定半径から通過範囲を求める。

解法2：アポロニウスの円として捉える

$α \neq = 0$ では $∣1 - \overline{α} w ∣ = ∣ α ∣∣ w - 1/ \overline{α} ∣$ を使い、 $D$ を2定点からの距離比が一定のアポロニウスの円と見る。後半は三角不等式で円周の合併を決める。

解答

解法1：逆変換して円の方程式を平方完成

(1)

変換式を $z$ について解くと

z = \frac{α - w}{1 - α w}

である。したがって $∣ z ∣ = 1/3$ は

9∣ w - α ∣^{2} = ∣1 - \overline{α} w ∣^{2}

と同値である。両辺を展開すると

(9 - ∣ α ∣^{2}) ∣ w ∣^{2} - 8 (\overline{α} w + α \overline{w}) + 9∣ α ∣^{2} - 1 = 0.

$∣ α ∣ < 1$ なので $9 - ∣ α ∣^{2} > 0$ であり、平方完成して

w - \frac{8 α}{9 - ∣ α ∣ ^{2}} = \frac{3 ( 1 - ∣ α ∣ ^{2} )}{9 - ∣ α ∣ ^{2}}

を得る。よって $D$ はこの中心と半径をもつ円周である。

$α = 1/2$ では

中心 = \frac{16}{35}, 半径 = \frac{9}{35} .

@@ F I G U R E : t ik z : 1 :

(2)

$∣ α ∣ = 1/2$ のとき、 $D$ の中心は原点中心、半径 $16/35$ の円周上を動き、 $D$ 自身の半径は常に $9/35$ である。中心を $M$ とすると、 $w \in D$ であるための条件は

∣ M ∣ = \frac{16}{35}, ∣ w - M ∣ = \frac{9}{35} .

三角形の成立条件から

\frac{16}{35} - \frac{9}{35} ≦ ∣ w ∣ ≦ \frac{16}{35} + \frac{9}{35},

すなわち

\frac{1}{5} ≦ ∣ w ∣ ≦ \frac{5}{7} .

逆にこの範囲の任意の $w$ について、辺長 $∣ w ∣, 16/35, 9/35$ の三角形が作れるので、条件を満たす中心 $M$ が存在する。したがって $E$ は境界を含む環状領域である。

@@ F I G U R E : t ik z : 2 :

解法2：アポロニウスの円として捉える

(1)

$ρ = ∣ α ∣$ とする。まず $α \neq = 0$ の場合、

∣ w - α ∣ = \frac{1}{3} ∣1 - \overline{α} w ∣ = \frac{ρ}{3} w - \frac{1}{α} .

これは2点 $α$ 、 $1/ \overline{α}$ からの距離の比が $ρ : 3$ である点の軌跡、すなわちアポロニウスの円である。距離比を $q = ρ /3$ とすると、その中心は

\frac{α - q ^{2} / α}{1 - q ^{2}} = \frac{8 α}{9 - ρ ^{2}},

半径は

\frac{q ∣ α - 1/ α ∣}{1 - q ^{2}} = \frac{3 ( 1 - ρ ^{2} )}{9 - ρ ^{2}} .

$α = 0$ の場合も元の式から $w = - z$ なので $∣ w ∣ = 1/3$ となり、同じ公式に含まれる。

$α = 1/2$ では中心 $16/35$ 、半径 $9/35$ の円周である。

(2)

$∣ α ∣ = 1/2$ では中心 $M$ が $∣ M ∣ = 16/35$ を動き、各円周は $∣ w - M ∣ = 9/35$ である。三角不等式と逆向きの三角不等式から

∣ ∣ M ∣ - ∣ w - M ∣ ∣ ≦ ∣ w ∣ ≦ ∣ M ∣ + ∣ w - M ∣,

よって

\frac{1}{5} ≦ ∣ w ∣ ≦ \frac{5}{7} .

また、この範囲では $∣ w ∣, 16/35, 9/35$ が三角形の3辺となるので、 $w$ を固定したとき条件を満たす $M$ を選べる。したがって通過範囲は

E = {w \frac{1}{5} ≦ ∣ w ∣ ≦ \frac{5}{7}}

である。

横浜国立大学 2024年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1：逆変換して円の方程式を平方完成

解法2：アポロニウスの円として捉える

解答

解法1：逆変換して円の方程式を平方完成

(1)

(2)

解法2：アポロニウスの円として捉える

(1)

(2)

横浜国立大学 2024年度
理系数学第4問