横浜国立大学 2024年度 前期 積分・指数・対数理系数学 第1問(1)

(1)
$u=e^x$とおくと、$dx=du\mathrm{/}u$であり、$x=0,\log \sqrt{3}$はそれぞれ$u=1,\sqrt{3}$に対応する。したがって$$I={\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{u^2+4u+1}{(u^2+1{)}^2}du={\int }_1^{\sqrt{3}}\{\frac{1}{u^2+1}+\frac{4u}{(u^2+1{)}^2}\}du$$である。

第1項で$u=\tan \theta$とおけば、$\theta$は$\pi \mathrm{/}4$から$\pi \mathrm{/}3$まで動き、$${\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{du}{u^2+1}={\int }_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}3}d\theta =\frac{\pi }{12}$$となる。また、$${\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{4u}{(u^2+1{)}^2}du={[-\frac{2}{u^2+1}]}_1^{\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}-(-1)=\frac{1}{2}$$である。ゆえに$$I=\frac{\pi }{12}+\frac{1}{2}$$である。

元の$x$のまま2項に分ける。一方を$\tan \theta =e^x$で定めた角の微分、他方を分数関数の微分として認識し、端点だけを代入する。

(1)
分母は$(1+e^{2x}{)}^2$であるから、被積分関数は$$\frac{e^x}{1+e^{2x}}+\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x}{)}^2}$$と分けられる。

$0\leqq x\leqq \log \sqrt{3}$で$$\tan \theta (x)=e^x,\frac{\pi }{4}\leqq \theta (x)\leqq \frac{\pi }{3}$$と定める。両辺を微分すると$${\theta }^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{e^x}{1+e^{2x}}$$である。一方、$${\left(\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x}{)}^2}$$である。したがって$$I={[\theta (x)+\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}]}_0^{\log \sqrt{3}}\mathrm{.}$$角の差は$\pi \mathrm{/}3-\pi \mathrm{/}4=\pi \mathrm{/}12$、分数部分の差は$$\frac{2\cdot 3}{1+3}-\frac{2}{1+1}=\frac{1}{2}$$なので、$$I=\frac{\pi }{12}+\frac{1}{2}$$を得る。