横浜国立大学 2020年度理系数学第5問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とする。 $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n + a - 1} e^{- x} d x

と定める。

(1) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して

I_{n} ≦ \frac{1}{n + a}

を示せ。

(2) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して

I_{n + 1} - (n + a) I_{n}

を求めよ。

(3) 極限値

n \to \infty lim n I_{n}

を求めよ。

(4) 実数 $b, c$ に対して

J_{n} = n^{3} (I_{n} + \frac{b}{n} + \frac{c}{n ^{2}}) (n = 1, 2, 3, \dots)

と定める。数列 ${J_{n}}$ が収束するとき、次の問いに答えよ。

(ア) $b$ を求めよ。

(イ) $c$ を $a$ の式で表せ。

(ウ) 極限値

n \to \infty lim J_{n}

を $a$ の式で表せ。

出典：横浜国立大学 2020年度前期理系第5問

方針

解法1（部分積分を3段階まで反復する）

(1)で基本評価、(2)で漸化式を作り、(3)は積分が $x = 1$ 付近へ集中することをはさみうちで示す。(4)では漸化式を3回反復し、 $1/ n, 1/ n^{2}, 1/ n^{3}$ の係数を順に取り出す。

解法2（漸化式から補正項を段階的に決める）

(1)〜(3)で得た評価と漸化式を使い、まず $I_{n}$ の $1/ n$ 項、次に $1/ n^{2}$ 項を極限として決める。その情報を漸化式へもう一度代入し、 $1/ n^{3}$ 項を得る。

解答

解法1（部分積分を3段階まで反復する）

(1)

$0 ≦ x ≦ 1$ では

0 < e^{- x} ≦ 1.

したがって

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n + a - 1} e^{- x} d x ≦ \int_{0}^{1} x^{n + a - 1} d x = \frac{1}{n + a} .

(2)

\frac{d}{d x} (x^{n + a} e^{- x}) = (n + a) x^{n + a - 1} e^{- x} - x^{n + a} e^{- x} .

両辺を0から1まで積分すると

\frac{1}{e} = (n + a) I_{n} - I_{n + 1} .

よって

I_{n + 1} - (n + a) I_{n} = - \frac{1}{e} .

(3)

まず

e^{- 1} ≦ e^{- x} ≦ 1 (0 ≦ x ≦ 1)

より

\frac{1}{e ( n + a )} ≦ I_{n} ≦ \frac{1}{n + a} .

上限を精密にするため、 $0 < ε < 1$ として積分区間を分ける。

I_{n} = \int_{0}^{1 - ε} x^{n + a - 1} e^{- x} d x + \int_{1 - ε}^{1} x^{n + a - 1} e^{- x} d x ≦ \int_{0}^{1 - ε} x^{n + a - 1} d x + e^{- 1 + ε} \int_{1 - ε}^{1} x^{n + a - 1} d x .

両辺を $n$ 倍して $n \to \infty$ とすると、最初の積分は0へ収束し

n \to \infty lim sup n I_{n} ≦ e^{- 1 + ε} .

一方、下の評価から

n \to \infty lim inf n I_{n} ≧ \frac{1}{e} .

$ε$ は任意だから

n \to \infty lim n I_{n} = \frac{1}{e} .

(4)

$E = 1/ e$ 、 $N = n + a$ とおく。(2)を変形すると

I_{n} = \frac{E}{N} + \frac{I _{n + 1}}{N} .

これを3段階まで反復して

I_{n} = \frac{E}{N} + \frac{E}{N ( N + 1 )} + \frac{E}{N ( N + 1 ) ( N + 2 )} + \frac{I _{n + 3}}{N ( N + 1 ) ( N + 2 )}

を得る。(1)から

0 ≦ I_{n + 3} ≦ \frac{1}{n + a + 3}

なので、最後の項は $n^{3}$ 倍しても0へ収束する。

まず (3) より $n I_{n} \to E$ だから、 $J_{n}$ が収束するには

b = - E = - \frac{1}{e}

が必要である。

次に上の表示から

n \to \infty lim n^{2} (I_{n} - \frac{E}{n}) = (1 - a) E .

したがって二次の発散も消すには

c = (a - 1) E = \frac{a - 1}{e}

が必要である。

この $b, c$ に対して

J_{n} = n^{3} (I_{n} - \frac{E}{n} + \frac{( a - 1 ) E}{n ^{2}}) .

3項の表示を使うと

n \to \infty lim n^{3} (\frac{1}{N} - \frac{1}{n} + \frac{a}{n ^{2}}) = a^{2},

n \to \infty lim n^{3} (\frac{1}{N ( N + 1 )} - \frac{1}{n ^{2}}) = - (2 a + 1),

n \to \infty lim \frac{n ^{3}}{N ( N + 1 ) ( N + 2 )} = 1.

よって

n \to \infty lim J_{n} = E {a^{2} - (2 a + 1) + 1} = \frac{a ( a - 2 )}{e} .

以上より

b = - \frac{1}{e}, c = \frac{a - 1}{e}, n \to \infty lim J_{n} = \frac{a ( a - 2 )}{e} .

解法2（漸化式から補正項を段階的に決める）

(1)

$e^{- x} ≦ 1$ より

I_{n} ≦ \int_{0}^{1} x^{n + a - 1} d x = \frac{1}{n + a} .

(2)

部分積分すると

I_{n + 1} = \int_{0}^{1} x^{n + a} e^{- x} d x = - \frac{1}{e} + (n + a) I_{n} .

よって

I_{n + 1} - (n + a) I_{n} = - \frac{1}{e} .

(3)

解法1のはさみうちにより

n \to \infty lim n I_{n} = \frac{1}{e} .

(4)

E = \frac{1}{e}

とおく。漸化式を

I_{n} = \frac{E + I _{n + 1}}{n + a}

と書く。

まず

n^{2} (I_{n} - \frac{E}{n}) = \frac{n { n I _{n + 1} - a E }}{n + a} .

ここで

n I_{n + 1} = \frac{n}{n + 1} {(n + 1) I_{n + 1}} ⟶ E

だから

n \to \infty lim n^{2} (I_{n} - \frac{E}{n}) = (1 - a) E .

この極限との差を

R_{n} = n^{2} (I_{n} - \frac{E}{n}) - (1 - a) E

とおけば $R_{n} \to 0$ であり、

I_{n + 1} = \frac{E}{n + 1} + \frac{( 1 - a ) E}{( n + 1 ) ^{2}} + \frac{R _{n + 1}}{( n + 1 ) ^{2}}

と正確に書ける。これを漸化式へ代入すると

I_{n} = \frac{E}{n + a} + \frac{E}{( n + a ) ( n + 1 )} + \frac{( 1 - a ) E}{( n + a ) ( n + 1 ) ^{2}} + \frac{R _{n + 1}}{( n + a ) ( n + 1 ) ^{2}} .

$J_{n}$ が収束するには、まず $n I_{n} \to E$ より

b = - E = - \frac{1}{e}

が必要である。さらに先ほどの極限より

c = - (1 - a) E = \frac{a - 1}{e}

が必要である。

この $b, c$ を代入する。上の正確な表示に対して

n \to \infty lim n^{3} (\frac{1}{n + a} - \frac{1}{n} + \frac{a}{n ^{2}}) = a^{2},

n \to \infty lim n^{3} (\frac{1}{( n + a ) ( n + 1 )} - \frac{1}{n ^{2}}) = - (a + 1),

n \to \infty lim \frac{n ^{3}}{( n + a ) ( n + 1 ) ^{2}} = 1

である。また $R_{n + 1} \to 0$ だから、剰余項を $n^{3}$ 倍したものも0へ収束する。したがって

n \to \infty lim J_{n} = E {a^{2} - (a + 1) + (1 - a)} = a (a - 2) E = \frac{a ( a - 2 )}{e} .

横浜国立大学 2020年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1（部分積分を3段階まで反復する）

解法2（漸化式から補正項を段階的に決める）

解答

解法1（部分積分を3段階まで反復する）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（漸化式から補正項を段階的に決める）

(1)

(2)

(3)

(4)

横浜国立大学 2020年度
理系数学第5問