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横浜国立大学 2020年度
理系数学第1問(2)

試験区分: 前期
対象: 理工学部・都市科学部
分野: 積分、三角関数、指数・対数
解法: 置換積分、計算整理
難易度: 3 / 10　　計算量 2 / 10　　目安 —

問題

次の問いに答えよ。

(2) 定積分

\int_{π /6}^{π /4} \frac{lo g ( sin x )}{tan x} d x

を求めよ。

出典：横浜国立大学 2020年度前期理系第1問(2)

方針

解法1（対数微分をそのまま使う）

被積分関数を $lo g (sin x)$ とその導関数の積と見る。 $u = lo g (sin x)$ とおけば、積分は $u$ の一次式になる。

解法2（正弦を新しい変数にする）

まず $t = sin x$ とおき、積分を $lo g t / t$ の形へ変える。その原始関数 $(lo g t)^{2} /2$ を端点で評価する。

解答

解法1（対数微分をそのまま使う）

(2)

\frac{1}{tan x} = \frac{cos x}{sin x}

である。ここで

u = lo g (sin x)

とおくと

d u = \frac{cos x}{sin x} d x .

端点は

x = \frac{π}{6} ⟹ u = lo g \frac{1}{2}, x = \frac{π}{4} ⟹ u = lo g \frac{2}{2} .

したがって

\int_{π /6}^{π /4} \frac{lo g ( sin x )}{tan x} d x = \int_{l o g (1/2)}^{l o g (2 /2)} u d u = \frac{1}{2} [u^{2}]_{l o g (1/2)}^{l o g (2 /2)} .

さらに

lo g \frac{1}{2} = - lo g 2, lo g \frac{2}{2} = - \frac{1}{2} lo g 2

だから

\frac{1}{2} {(- \frac{1}{2} lo g 2)^{2} - (- lo g 2)^{2}} = - \frac{3}{8} (lo g 2)^{2} .

よって求める値は

- \frac{3}{8} (lo g 2)^{2}

である。

解法2（正弦を新しい変数にする）

(2)

t = sin x

とおくと

d t = cos x d x

であり

\frac{d x}{tan x} = \frac{cos x}{sin x} d x = \frac{d t}{t} .

また積分区間は

\frac{1}{2} ≦ t ≦ \frac{2}{2} .

よって

\int_{π /6}^{π /4} \frac{lo g ( sin x )}{tan x} d x = \int_{1/2}^{2 /2} \frac{lo g t}{t} d t = [\frac{1}{2} (lo g t)^{2}]_{1/2}^{2 /2} .

したがって

\frac{1}{2} {\frac{1}{4} (lo g 2)^{2} - (lo g 2)^{2}} = - \frac{3}{8} (lo g 2)^{2} .

ゆえに

- \frac{3}{8} (lo g 2)^{2}

である。