横浜国立大学 2024年度 前期 積分・微分理系数学 第1問(2)

(2)
与式に$x=0$を代入すると$$f(0)=1$$である。$f$は連続かつ正であるから被積分関数も連続であり、微積分の基本定理により$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x}{(x^2+1)f(x)}$$と微分できる。よって$$\{f(x{)}^2{\}}^{\mathrm{\prime }}=2f(x)f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x}{x^2+1}\mathrm{.}$$$0$から$x$まで積分して$$f(x{)}^2-f(0{)}^2=\log (x^2+1)$$を得る。したがって$$f(x{)}^2=1+\log (x^2+1)\mathrm{.}$$右辺はすべての実数$x$で1以上であり、条件$f(x)>0$から$$f(x)=\sqrt{1+\log (x^2+1)}$$である。

実際、この関数では$${\int }_0^x\frac{t}{(t^2+1)\sqrt{1+\log (t^2+1)}}dt=\sqrt{1+\log (x^2+1)}-1$$となるため、元の積分方程式も満たす。

右辺の積分そのものを$F(x)$とおくと$f=F+1$である。$F^{\mathrm{\prime }}$の式に$f=F+1$を代入し、$(F+1)F^{\mathrm{\prime }}$を直接積分する。

(2) $$F(x)={\int }_0^x\frac{t}{(t^2+1)f(t)}dt$$とおく。与式から$$f(x)=F(x)+1,F(0)=0$$である。正値性より$F(x)+1=f(x)>0$であり、$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x}{(x^2+1)(F(x)+1)}$$となる。したがって$$(F(x)+1)F^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x}{x^2+1}\mathrm{.}$$両辺を$0$から$x$まで積分すると$${[\frac{1}{2}(F(t)+1{)}^2]}_{t=0}^{t=x}=\frac{1}{2}\log (x^2+1),$$すなわち$$(F(x)+1{)}^2=1+\log (x^2+1)$$である。$F+1=f>0$であるから、$$f(x)=F(x)+1=\sqrt{1+\log (x^2+1)}$$となる。この方法では、積分方程式の右辺が作る累積量を先に未知関数としている。