横浜国立大学 2024年度理系数学第1問(2) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(2) 実数全体で定義された連続関数 $f (x)$ が，すべての実数 $x$ に対して $f (x) > 0$ ，かつ

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{( t ^{2} + 1 ) f ( t )} d t + 1

をみたすとき， $f (x)$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2024年度前期理系第1問(2)

正値性により被積分関数が連続であることを確認して両辺を微分する。 $2 f f^{'}$ の形を作って $f^{2}$ を求め、 $f (0) = 1$ と正値性で平方根の枝を決める。

右辺の積分そのものを $F (x)$ とおくと $f = F + 1$ である。 $F^{'}$ の式に $f = F + 1$ を代入し、 $(F + 1) F^{'}$ を直接積分する。

与式に $x = 0$ を代入すると

f (0) = 1

である。 $f$ は連続かつ正であるから被積分関数も連続であり、微積分の基本定理により

f^{'} (x) = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) f ( x )}

と微分できる。よって

{f (x)^{2}}^{'} = 2 f (x) f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1} .

$0$ から $x$ まで積分して

f (x)^{2} - f (0)^{2} = lo g (x^{2} + 1)

を得る。したがって

f (x)^{2} = 1 + lo g (x^{2} + 1) .

右辺はすべての実数 $x$ で1以上であり、条件 $f (x) > 0$ から

f (x) = 1 + lo g (x^{2} + 1)

である。

実際、この関数では

\int_{0}^{x} \frac{t}{( t ^{2} + 1 ) 1 + lo g ( t ^{2} + 1 )} d t = 1 + lo g (x^{2} + 1) - 1

となるため、元の積分方程式も満たす。

F (x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{( t ^{2} + 1 ) f ( t )} d t

とおく。与式から

f (x) = F (x) + 1, F (0) = 0

である。正値性より $F (x) + 1 = f (x) > 0$ であり、

F^{'} (x) = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ( F ( x ) + 1 )}

となる。したがって

(F (x) + 1) F^{'} (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1} .

両辺を $0$ から $x$ まで積分すると

[\frac{1}{2} (F (t) + 1)^{2}]_{t = 0}^{t = x} = \frac{1}{2} lo g (x^{2} + 1),

すなわち

(F (x) + 1)^{2} = 1 + lo g (x^{2} + 1)

である。 $F + 1 = f > 0$ であるから、

f (x) = F (x) + 1 = 1 + lo g (x^{2} + 1)

となる。この方法では、積分方程式の右辺が作る累積量を先に未知関数としている。