広島大学 2019年度 前期文系数学 第4問

(1) $$\overrightarrow{PA}=(-t,3)$$，$$\overrightarrow{PB}=(-t,-1)$$ である。$\mathrm{\angle }APB$ が直角である条件は$$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=t^2-3=0$$であるから，$t>0$ より$$t=\sqrt{3}$$である。

(2)
$AB$ は $y$ 軸上にあるので，点 $P$ から $AB$ に下ろす垂線は $x$ 軸である。また，$BP$ の傾きは $1\mathrm{/}t$ だから，$A$ を通り $BP$ に垂直な直線は$$y=3-tx$$である。これと $x$ 軸との交点が垂心 $H$ であるから$$H(\frac{3}{t},0)$$である。

(3)
$t>\sqrt{3}$ とする。計算すると$$D(\frac{4t}{t^2+1},\frac{3-t^2}{t^2+1}),E(\frac{12t}{t^2+9},\frac{3(t^2-3)}{t^2+9})$$である。$H(\frac{3}{t},0)$ から直線 $OD$ までの距離は$$\frac{3(t^2-3)}{t\sqrt{(t^2+1)(t^2+9)}}$$である。同様に，直線 $OE$ までの距離も同じ値になる。

また，直線 $DE$ の傾きは $\frac{t^2+3}{2t}$ であるから，$H$ から直線 $DE$ までの距離も$$\frac{3(t^2-3)}{t\sqrt{(t^2+1)(t^2+9)}}$$である。$t>\sqrt{3}$ のとき $D$ は $x$ 軸の下側，$E$ は上側にあり，$H$ は $\mathrm{△}ODE$ の内部にある。したがって，$H$ は $\mathrm{△}ODE$ の三辺から等距離にある内部の点であり，$\mathrm{△}ODE$ の内心である。

(4)
(3)で求めた共通距離が内接円の半径である。よって半径は$$\frac{3(t^2-3)}{t\sqrt{(t^2+1)(t^2+9)}}$$である。

垂足を求めた後、三角形 $ODE$ の3辺の方程式を対称な形で書く。$H$ から各辺への距離が同じ式になることを、図と直線方程式から一括して示す。

(1) $$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(-t,3)\cdot (-t,-1)=t^2-3.$$したがって直角となるのは $t=\sqrt{3}$ である。

(2)
$BP$ の傾きは $1\mathrm{/}t$ なので、$A$ からの高さは $y=3-tx$ である。$P$ から $AB$ への高さ $y=0$ との交点より$$H(\frac{3}{t},0)\mathrm{.}$$(3)
垂足を計算すると$$D(\frac{4t}{t^2+1},\frac{3-t^2}{t^2+1}),E(\frac{12t}{t^2+9},\frac{3(t^2-3)}{t^2+9})\mathrm{.}$$これらから三辺の方程式は$$OD:(t^2-3)x+4ty=0,OE:(t^2-3)x-4ty=0,$$$$DE:(t^2+3)x-2ty-6t=0.$$$H=(3\mathrm{/}t,0)$ から各直線までの距離を代入すると、3本とも$$\begin{array}{cccc}& \frac{3(t^2-3)}{t\sqrt{t^4+10t^2+9}}=\frac{3(t^2-3)}{t\sqrt{(t^2+1)(t^2+9)}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$t>\sqrt{3}$ では $D$ は $x$ 軸の下、$E$ は上にあり、$0<3\mathrm{/}t<t$ だから $H$ は三角形 $ODE$ の内部にある。よって3辺から等距離にある $H$ は内心である。

(4)
内接円の半径は(1)の共通距離なので$$\frac{3(t^2-3)}{t\sqrt{(t^2+1)(t^2+9)}}\mathrm{.}$$