広島大学 2026年度 前期文系数学 第1問

(1)
得点が$5$であるのは，両方の目が$5$以下で，かつ両方の目が$4$以下ではない場合である。したがって場合の数は$$5^2-4^2=9$$であり，求める確率は$$\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$$である。

(2)
得点が$5$である$9$通りのうち，大きいさいころの目が$5$であるのは，小さいさいころの目が$1,2,3,4,5$の$5$通りである。よって条件付き確率は$$\frac{5}{9}$$である。

(3)
得点が$k$である確率は$$\frac{k^2-(k-1{)}^2}{36}=\frac{2k-1}{36}(k=1,2,\dots ,6)$$である。したがって期待値は$$\sum _{k=1}^{6}k\frac{2k-1}{36}=\frac{1+6+15+28+45+66}{36}=\frac{161}{36}$$である。

(4)
AさんとBさんの得点は同じ分布であるから，Aさんの得点が大きい確率とBさんの得点が大きい確率は等しい。引き分けの確率は$$\frac{1^2+3^2+5^2+7^2+9^2+{11}^2}{{36}^2}=\frac{286}{1296}=\frac{143}{648}$$である。よって求める確率は$$\frac{1-\frac{143}{648}}{2}=\frac{505}{1296}$$である。

得点 $M$ の分布を作る。(3)は $\mathrm{E}(M)=\mathrm{Pr}(M\geqq 1)+\cdots +\mathrm{Pr}(M\geqq 6)$ を使い，(4)はAの得点を固定してBの得点がそれ未満となる場合を直接数える。

(1)
得点が5となる組は，一方が5で他方が1以上5以下のものから $(5,5)$ の重複を除いた $5+5-1=9$ 通りである。よって確率は$$\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$$である。

(2)
この9通りのうち大きいさいころが5であるのは $(5,1),(5,2),\dots ,(5,5)$ の5通りだから，条件付き確率は $5\mathrm{/}9$ である。

(3)
得点を $M$ とすると，$j=1,\dots ,6$ に対して$$\mathrm{Pr}(M\geqq j)=1-\frac{(j-1{)}^2}{36}$$である。したがって$$\mathrm{E}(M)=6-\frac{0^2+1^2+2^2+3^2+4^2+5^2}{36}=6-\frac{55}{36}=\frac{161}{36}\mathrm{.}$$(4)
Aの得点が $k$ である組は $2k-1$ 通り，Bの得点が $k$ 未満である組は $(k-1{)}^2$ 通りである。よってAが勝つ組は$$1\cdot 0+3\cdot 1+5\cdot 4+7\cdot 9+9\cdot 16+11\cdot 25=505$$通りである。全組は ${36}^2=1296$ 通りなので，求める確率は $505\mathrm{/}1296$ である。