北海道大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$(1)$ まず$$(n+1)(n+2)\leqq 2^{n+2}$$を示す。$n=1$ では $6\leqq 8$ である。ある $n$ で成り立つと仮定すると、$n\geqq 1$ より $n+3\leqq 2(n+1)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (n+2)(n+3)}& {\displaystyle \leqq 2(n+1)(n+2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq 2^{n+3}\mathrm{.}}\end{array}$$よって帰納法により主張が成り立つ。

したがって$$A_n=[{\displaystyle \frac{1}{2^{n+2}}},{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}],$$$$A_{n+1}=[{\displaystyle \frac{1}{2^{n+3}}},{\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}}]\mathrm{.}$$左端については $A_{n+1}$ の方が左にあり、右端については $A_{n+1}$ の方が左にある。さらに先の不等式から$${\displaystyle \frac{1}{2^{n+2}}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}}$$だから、両線分は必ず交わる。

端点の並びと共通部分は次の通りである。

$(2)$ 共通部分は$$A_n\cap A_{n+1}=[{\displaystyle \frac{1}{2^{n+2}}},{\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}}]$$だから$$d_n={\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}}-{\displaystyle \frac{1}{2^{n+2}}}\mathrm{.}$$第1の級数は望遠和によって $1\mathrm{/}2$、第2の級数は初項 $1\mathrm{/}8$、公比 $1\mathrm{/}2$ の等比級数だから $1\mathrm{/}4$ である。よって$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{d}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$

端点比較の核心となる不等式を二項展開の2項から示す。共通部分の長さを有限和まで計算し、その極限を取ることで無限和を求める。

$(1)$ $n=1,2$ では$$6\leqq 8,12\leqq 16$$である。$n\geqq 3$ では二項定理より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2^{n+2}}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^{n+2}{}_{n+2}{\mathrm{C}}_k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq {}_{n+2}{\mathrm{C}}_2+{}_{n+2}{\mathrm{C}}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)(n+2)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって、すべての自然数 $n$ で$${\displaystyle \frac{1}{2^{n+2}}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}}$$が成り立つ。

また$${\displaystyle \frac{1}{2^{n+3}}}<{\displaystyle \frac{1}{2^{n+2}}},{\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}}<{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}\mathrm{.}$$よって両線分の共通部分は$$[{\displaystyle \frac{1}{2^{n+2}}},{\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}}]$$であり、特に空でない。

$(2)$ $N$ までの和を先に計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^N{d}_n}& {\displaystyle =\sum _{n=1}^N({\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+2}})-\sum _{n=1}^N{\displaystyle \frac{1}{2^{n+2}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{N+2}})-{\displaystyle \frac{1}{4}}(1-{\displaystyle \frac{1}{2^N}})\mathrm{.}}\end{array}$$$N$ を限りなく大きくすれば$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{d}_n={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$