北海道大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
条件(ii)より、中心角の増分は $\theta ,\theta r,\theta r^2,\dots$ である。$\theta >0$、$r>0$ であり、$\mathrm{\angle }{P}_{0}O{P}_n$ はこれらの和である。

条件(i)より $\mathrm{\angle }{P}_{0}O{P}_n$ は単調に増大し、しかも極限が $2\pi$ で有限である。したがって等比級数が収束しなければならないので $0<r<1$ である。また、全体の和が $2\pi$ だから $$\theta +\theta r+\theta r^2+\cdots ={\displaystyle \frac{\theta }{1-r}}=2\pi$$ である。よって $$\theta =2\pi (1-r)(0<r<1)$$ が求める関係式である。

(2)
半径1の扇形の面積は中心角の半分であるから $$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\theta r^{n-1}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1+S_5+S_9+\cdots }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\theta }{2}}(1+r^4+r^8+\cdots )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\theta }{2(1-r^4)}}\mathrm{.}}\end{array}$$(1)の $\theta =2\pi (1-r)$ を代入すると $${\displaystyle \frac{\theta }{2(1-r^4)}}={\displaystyle \frac{\pi (1-r)}{1-r^4}}={\displaystyle \frac{\pi }{(1+r)(1+r^2)}}$$ である。

そこで $$H(r)={\displaystyle \frac{\pi }{(1+r)(1+r^2)}}(0<r<1)$$ とおく。分母 $(1+r)(1+r^2)$ は $0<r<1$ で連続かつ単調増加であるから、$H(r)$ は連続かつ単調減少である。また $$\underset{r\to 0+}{\lim }H(r)=\pi ,\underset{r\to 1-}{\lim }H(r)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ である。

したがって $${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\alpha <\pi$$ を満たす任意の $\alpha$ に対して、$H(r)=\alpha$ を満たす $r$ が $0<r<1$ に少なくとも1つ存在する。さらに $H(r)$ は単調減少なので、そのような $r$ は高々1つである。よって条件を満たす $r$ はただ1つ存在する。

扇形面積の和を整理した後、分数関数をそのまま微分せず、方程式を $(1+r)(1+r^2)=\pi \mathrm{/}\alpha$ と変形する。左辺は $1+r+r^2+r^3$ という単調な多項式で、$0<r<1$ では値が1から4まで重複なく動く。一方、$\pi \mathrm{/}4<\alpha <\pi$ は右辺が1と4の間にあることと同値なので、連続性と単調性から存在と一意性を得る。

(1)
第 $n$ 区間の中心角は $\theta r^{n-1}$ である。これらは正で、総和が有限の $2\pi$ だから $0<r<1$ である。さらに$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\theta r^{n-1}={\displaystyle \frac{\theta }{1-r}}=2\pi$$より$$\theta =2\pi (1-r),0<r<1.$$(2)
半径1の扇形の面積は中心角の半分なので$$S_n={\displaystyle \frac{\theta }{2}}{r}^{n-1}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1+S_5+S_9+\cdots }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\theta }{2}}(1+r^4+r^8+\cdots )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\theta }{2(1-r^4)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{(1+r)(1+r^2)}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める $r$ は$$(1+r)(1+r^2)={\displaystyle \frac{\pi }{\alpha }}$$を満たす。$$\varphi (r)=1+r+r^2+r^3$$とおく。$0<r<1$ で$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(r)=1+2r+3r^2>0$$だから、$\varphi$ は連続かつ狭義単調増加である。また$$\underset{r\to 0+}{\lim }\varphi (r)=1,\underset{r\to 1-}{\lim }\varphi (r)=4.$$一方、$\pi \mathrm{/}4<\alpha <\pi$ より$$1<{\displaystyle \frac{\pi }{\alpha }}<4.$$したがって中間値の定理により条件を満たす $r$ が $0<r<1$ に存在し、狭義単調増加性によりその $r$ はただ1つである。