北海道大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $\mathbf{e}=(1,1{)}^T$ とおく。$A\in R$ であることは、ある実数 $s$ により $A\mathbf{e}=s\mathbf{e}$ と書けることと同値である。$$A\mathbf{e}=s\mathbf{e},B\mathbf{e}=t\mathbf{e}$$ なら$$AB\mathbf{e}=A(t\mathbf{e})=st\mathbf{e}$$だから $AB\in R$ である。

(2) $d=a+b-c$ である。まず$$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=(a+b)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$より、$k=a+b$, $$\vec{u}=\pm 2^{-1\mathrm{/}2}(1,1{)}^T$$ を得る。

全解性を確認する。$A(p,q{)}^T=k(p,q{)}^T$ が非零解をもつには$$0=\det (A-kE)=(a-k)(a+b-c-k)-bc=(k-a-b)(k-a+c)$$である。したがって $k=a+b$ または $k=a-c$ に限られる。前者では $-bp+bq=0,cp-cq=0$ であり、$b\mathrm{\ne }0$ または $c\mathrm{\ne }0$ だから $p=q$ となる。後者では $cp+bq=0$ だから、方向は $(p,q)=(b,-c)$ である。実際、$d=a+b-c$ を用いると$$A\left(\begin{array}{c}b\\ -c\end{array}\right)=(a-c)\left(\begin{array}{c}b\\ -c\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって求める組は$$(a+b,\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)),(a-c,\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}}\left(\begin{array}{c}b\\ -c\end{array}\right))\mathrm{.}$$ただし $b=-c$ のときは2つの表示が同じ組を与えるので、重複は1回だけ数える。

(1) はベクトル $(1,1{)}^T$ の像で閉性を示す。(2)は $A(p,q{)}^T$ と $(p,q{)}^T$ が平行である条件を1本の積に因数分解し、可能な2方向を直接取り出す。

(1)
$\mathit{e}=(1,1{)}^T$ とする。$A\in R$ であることは、ある実数 $s$ により$$A\mathit{e}=s\mathit{e}$$と書けることと同値である。$$A\mathit{e}=s\mathit{e}$$、$$B\mathit{e}=t\mathit{e}$$ なら$$AB\mathit{e}=st\mathit{e},$$よって $AB\in R$ である。

(2)
$d=a+b-c$ である。$$\mathit{u}=(p,q{)}^T\mathrm{\ne }\mathbf{0}$$ とし、$A\mathit{u}$ が $\mathit{u}$ と平行である条件を成分で表すと$$(ap+bq)q-(cp+dq)p=0.$$$d=a+b-c$ を代入して整理すると$$(q-p)(bq+cp)=0.$$したがって方向は $q=p$ または $bq+cp=0$ である。

前者から$$k=a+b,\mathit{u}=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$後者の方向は $(p,q)=(b,-c)$ だから$$k=a-c,\mathit{u}=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}}\left(\begin{array}{c}b\\ -c\end{array}\right)\mathrm{.}$$$b=-c$ のときは2方向が一致するため、同じ組は1回だけ数える。