北海道大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$y=e^{-\sqrt{3}x}\sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$$ とおく。微分すると$$y^{\mathrm{\prime }}=e^{-\sqrt{3}x}\{3\cos (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})-\sqrt{3}\sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\}$$である。ここで $e^{-\sqrt{3}x}>0$ なので、$y^{\mathrm{\prime }}=0$ は$$3\cos (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})-\sqrt{3}\sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=0$$と同値である。すなわち $$\tan (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=\sqrt{3}$$ であるから $$3x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k\pi (k\text{ は整数})$$ となる。したがって臨界点は $$x={\displaystyle \frac{\pi }{18}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{3}}$$ である。

指定された区間を $$I_n=({\displaystyle \frac{2(n-1)}{3}}\pi ,{\displaystyle \frac{2n}{3}}\pi )$$ と書く。$x=\pi \mathrm{/}18+k\pi \mathrm{/}3$ が $I_n$ に入る条件は $${\displaystyle \frac{2(n-1)}{3}}\pi <{\displaystyle \frac{\pi }{18}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{3}}<{\displaystyle \frac{2n}{3}}\pi$$ である。$3\mathrm{/}\pi$ を掛けると $$2n-2<{\displaystyle \frac{1}{6}}+k<2n$$ となるから、この範囲に入る整数 $k$ は $k=2n-2,k=2n-1$ の2つだけである。

さらに $$y^{\mathrm{\prime }}=2\sqrt{3}{e}^{-\sqrt{3}x}\cos (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$$ とも書ける。$k=2n-2$ の臨界点では $$3x+\pi \mathrm{/}3=\pi \mathrm{/}2+(2n-2)\pi$$ となり、$y^{\mathrm{\prime }}$ は正から負へ変わるので極大である。$k=2n-1$ の臨界点では $$3x+\pi \mathrm{/}3=\pi \mathrm{/}2+(2n-1)\pi$$ となり、$y^{\mathrm{\prime }}$ は負から正へ変わるので極小である。したがって各区間 $I_n$ で極大値および極小値をそれぞれ1回ずつとる。

(2)
(1) より、$I_n$ で極大となるのは $k=2n-2$ に対応する臨界点である。その $x$ 座標は $$x_n={\displaystyle \frac{\pi }{18}}+{\displaystyle \frac{(2n-2)\pi }{3}}$$ である。このとき $$3x_n+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+(2n-2)\pi$$ なので $$\sin (3x_n+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。したがって極大値 $y_n$ は$$y_n={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\exp \{-\sqrt{3}({\displaystyle \frac{\pi }{18}}+{\displaystyle \frac{(2n-2)\pi }{3}})\}$$である。

これは初項 $$y_1={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\exp (-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{18}})$$ 公比 $\exp (-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pi }{3}})$ の等比数列である。公比は $0$ より大きく $1$ より小さいので、無限和は$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\exp (-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{18}})}{1-\exp (-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pi }{3}})}}$$である。すなわち$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}\exp (-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{18}})}{2\{1-\exp (-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pi }{3}})\}}}$$である。

長さ $2\pi \mathrm{/}3$ だけ平行移動すると正の一定倍になることを利用し、最初の区間だけを調べる。各区間の極大値が等比数列になることも同時に示す。

(1) $$q=\exp (-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pi }{3}})$$と置くと$$y(x+{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})=qy(x)\mathrm{.}$$$q>0$ なので、各区間のグラフは最初の区間 $(0,2\pi \mathrm{/}3)$ のグラフを横へ移し、正の倍率で縦に縮小したものである。

この最初の区間では$$y^{\mathrm{\prime }}=2\sqrt{3}{e}^{-\sqrt{3}x}\cos (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\mathrm{.}$$したがって停留点は$$x={\displaystyle \frac{\pi }{18}},x={\displaystyle \frac{7\pi }{18}}$$の2点だけである。余弦の符号から前者で正から負、後者で負から正へ変わるので、極大・極小を1回ずつとる。正の倍率による相似から、すべての整数 $n$ の指定区間でも同じである。

(2)
最初の極大値は$$y_1={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\exp (-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{18}})\mathrm{.}$$区間を1つ進むごとに極大値は $q$ 倍されるので$$y_n=y_1{q}^{n-1}\mathrm{.}$$よって$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\exp (-\sqrt{3}\pi \mathrm{/}18)}{2\{1-\exp (-2\sqrt{3}\pi \mathrm{/}3)\}}}\mathrm{.}$$