北海道大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
円 $C$ の中心を $(h,0)$ とおく。点 $A(a,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin a)$ における曲線の接線の傾きは ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cos a$ である。

一方、円の半径 $CA$ の傾きは ${\displaystyle \frac{(1\mathrm{/}\sqrt{2})\sin a}{a-h}}$ であり、円の接線は半径に垂直であるから、円の接線の傾きは $-{\displaystyle \frac{a-h}{(1\mathrm{/}\sqrt{2})\sin a}}$ である。2つの接線が一致するので $$-{\displaystyle \frac{a-h}{(1\mathrm{/}\sqrt{2})\sin a}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cos a$$ である。整理すると $-2(a-h)=\sin a\cos a$ であり、$$h=a+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin a\cos a$$ となる。

(2)
曲線上の点 $(x,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin x)$ と中心 $(h,0)$ との距離の2乗を $$D(x)=(x-h{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}x$$ とおく。円の半径の2乗は $D(a)$ である。したがって、点 $A$ 以外の曲線上の点が円の外にあることを示すには、$x\mathrm{\ne }a$ で $D(x)>D(a)$ を示せばよい。

(1) の $h=a+(1\mathrm{/}2)\sin a\cos a$ を用いて微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =2(x-h)+\sin x\cos x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(x-a)+\sin x\cos x-\sin a\cos a\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $\varphi (x)=2x+\sin x\cos x$ とおくと $D^{\mathrm{\prime }}(x)=\varphi (x)-\varphi (a)$ である。また $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=2+\cos 2x\geqq 1>0$$ なので、$\varphi (x)$ は増加する。

したがって $x<a$ では $D^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、$x>a$ では $D^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ である。よって $D(x)$ は $x=a$ でただ1つの最小値を取る。したがって $x\mathrm{\ne }a$ なら $D(x)>D(a)$ であり、曲線は点 $A$ を除いて円 $C$ の外にある。

(3)
(2)より、中心から曲線上の点までの距離の2乗の最小値は $D(a)$ である。 $$a-h=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin a\cos a$$ だから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D(a)}& {\displaystyle =(a-h{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}{\sin }^{2}a{\cos }^{2}a+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}{\sin }^{2}a(2+{\cos }^{2}a)\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める最小値は ${\displaystyle \frac{1}{4}}{\sin }^{2}a(2+{\cos }^{2}a)$ である。

$a=\pi \mathrm{/}4$ のときの模式図。曲線と円は $A$ で同じ接線をもつ。

(1) 接点で半径と接線が垂直である条件を内積で書き、中心を求める。(2) 距離の2乗 $D(x)$ の導関数に現れる $g(x)=\sin x\cos x$ について、平均値の定理から $\mathrm{\mid }g(x)-g(a)\mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }$ を使う。これにより $D^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号を評価し、(3) 接点での値を計算する。

(1) 中心を $O=(h,0)$ とする。接点 $A$ における曲線の接ベクトルは$$(1,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cos a)$$であり、半径ベクトルは$$\overrightarrow{OA}=(a-h,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin a)$$である。両者は垂直だから内積は0であり、$$a-h+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin a\cos a=0.$$したがって$$h=a+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin a\cos a$$である。

(2) 曲線上の点と $O$ との距離の2乗を$$D(x)=(x-h{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}x$$とおく。$g(x)=\sin x\cos x$ とすれば$$D^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-a)+g(x)-g(a)\mathrm{.}$$また $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos 2x$ だから $\mathrm{\mid }{g}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }\leqq 1$ である。平均値の定理より$$\mathrm{\mid }g(x)-g(a)\mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$したがって $x>a$ では$$D^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 2(x-a)-\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }=x-a>0,$$$x<a$ では$$D^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 2(x-a)+\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }=x-a<0.$$よって $D(x)$ は $x=a$ でただ1つの最小値を取る。円 $C$ の半径の2乗は $D(a)$ だから、$x\mathrm{\ne }a$ の曲線上の点では中心までの距離が半径より大きい。したがって曲線は $A$ を除いて円の外にある。

(3) $$a-h=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin a\cos a$$より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D(a)}& {\displaystyle =(a-h{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}{\sin }^{2}a{\cos }^{2}a+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}{\sin }^{2}a(2+{\cos }^{2}a)\mathrm{.}}\end{array}$$これが求める距離の2乗の最小値である。