北海道大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
曲線を $$y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$$ とおく。このとき $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{ds}{dx}}}& {\displaystyle =\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}\right)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{{\displaystyle \frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$速さは毎秒1で、速度ベクトルの $x$ 成分は正なので、点 $0,1$ を通過してから $t$ 秒後には$$t={\int }_0^x{\displaystyle \frac{e^u+e^{-u}}{2}}du={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$$である。 $X=e^x$ とおくと $$t={\displaystyle \frac{X-X^{-1}}{2}}$$ であり、$X^2-2tX-1=0$ を得る。$X>0$ なので $$X=t+\sqrt{t^2+1}$$ である。したがって求める $x$ 座標は $$x=\log (t+\sqrt{t^2+1})$$ である。

(2)
経過時間を $t$ として考える。(1)より $${\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}=t$$ であり、これは点 $P$ における接線の傾きでもある。また$${\left({\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}\right)}^2=1$$より、点 $P$ の $y$ 座標は $$y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}=\sqrt{t^2+1}$$ である。

点 $P=(x,y)$ における接線は $Y-y=t(X-x)$ である。$x$ 軸との交点 $Q$ では $Y=0$ なので、その $X$ 座標を $X_Q$ とすると $$X_Q=x-{\displaystyle \frac{y}{t}}$$ である。したがって $$X_Q(t)=\log (t+\sqrt{t^2+1})-{\displaystyle \frac{\sqrt{t^2+1}}{t}}$$ である。 $Q$ は $x$ 軸上を動くので、その速さは $\mathrm{\mid }{X}_Q^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\mid }$ である。まず $${\displaystyle \frac{d}{dt}}\log (t+\sqrt{t^2+1})={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}}$$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{t^2+1}}{t}}\right)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{t\cdot t\mathrm{/}\sqrt{t^2+1}-\sqrt{t^2+1}}{t^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{t^2\sqrt{t^2+1}}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$X_Q^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}}+{\displaystyle \frac{1}{t^2\sqrt{t^2+1}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{t^2+1}}{t^2}}$$である。2秒後、すなわち $t=2$ のとき、$Q$ の速さは ${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}$ である。

曲線上の点 $P$ と、その接線の $x$ 軸との交点 $Q$

(1) 弧長を先に積分せず、速さ1の単位接ベクトルから速度成分を求める。曲線の傾きを $v=(e^x-e^{-x})\mathrm{/}2$、高さを $y=(e^x+e^{-x})\mathrm{/}2$ とすると $dv\mathrm{/}dt=1$ が得られ、$v=t$ となる。(2) 接線の切片を $q=x-y\mathrm{/}v$ と表し、時刻 $t$ で微分する。

経過時間を $t$、点 $P$ の座標を $(x,y)$ とする。また$$v={\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$$とおく。この曲線では$$y^2-v^2=1,{\displaystyle \frac{dv}{dx}}=y$$が成り立つ。

(1) 速度の $x$ 成分は正で、速さは1だから、単位接ベクトルより$${\displaystyle \frac{dx}{dt}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+v^2}}}={\displaystyle \frac{1}{y}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{dv}{dt}}={\displaystyle \frac{dv}{dx}}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}=y\cdot {\displaystyle \frac{1}{y}}=1.$$点 $(0,1)$ では $v=0$ だから $v=t$ である。よって$${\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}=t\mathrm{.}$$$e^x>0$ に注意して解くと$$e^x=t+\sqrt{t^2+1},$$したがって$$x=\log (t+\sqrt{t^2+1})$$である。

(2) 接線の傾きは $v=t$、また $y^2-v^2=1$ より$$y=\sqrt{t^2+1}\mathrm{.}$$接線と $x$ 軸との交点 $Q$ の $x$ 座標を $q$ とすると$$q=x-{\displaystyle \frac{y}{v}}=x-{\displaystyle \frac{\sqrt{t^2+1}}{t}}\mathrm{.}$$ここで$${\displaystyle \frac{dx}{dt}}={\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}}$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{dq}{dt}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}}-{\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{t^2+1}}{t}}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}}+{\displaystyle \frac{1}{t^2\sqrt{t^2+1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{t^2+1}}{t^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$t=2$ では正なので、そのまま速さを表す。よって求める速さは$${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}$$である。