北海道大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) 点 $P$ は直線 $l:y=x$ 上にあるので $P=(p,p)$ とおける。

放物線 $C:y=x^2+1$ の $x=u$ における接線を求める。導関数は $2x$ なので，接線は $y-(u^2+1)=2u(x-u)$ すなわち $y=2ux-u^2+1$ である。この接線が点 $P(p,p)$ を通る条件は $p=2up-u^2+1$ である。整理して $u^2-2pu+p-1=0$ を得る。

この2次方程式の判別式は $$(-2p{)}^2-4(p-1)=4(p^2-p+1)$$ である。ここで $$p^2-p+1={(p-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}>0$$ なので，判別式は常に正である。したがって任意の点 $P$ から $C$ に異なる2本の接線が引ける。

(2) 2つの接点の $x$ 座標を $\alpha <\beta$ とする。$x=\alpha$ における接線は $$y=2\alpha x-{\alpha }^2+1$$ であり，放物線との差は $$(x^2+1)-(2\alpha x-{\alpha }^2+1)=(x-\alpha {)}^2$$ である。同様に，$x=\beta$ における接線との差は $(x-\beta {)}^2$ である。

2本の接線の交点の $x$ 座標は，$$2\alpha x-{\alpha }^2+1=2\beta x-{\beta }^2+1$$ より $$x={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$$ である。したがって囲まれる面積 $S$ は$$S={\int }_{\alpha }^{(\alpha +\beta )\mathrm{/}2}(x-\alpha {)}^{2}dx+{\int }_{(\alpha +\beta )\mathrm{/}2}^{\beta }(x-\beta {)}^{2}dx$$である。ここで $h=(\beta -\alpha )\mathrm{/}2$ とおくと，両方の積分はそれぞれ $${\int }_0^h{t}^{2}dt={\displaystyle \frac{h^3}{3}}$$ に等しい。よって$$S=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{12}}$$である。

一方，$\alpha ,\beta$ は (1) の2次方程式 $u^2-2pu+p-1=0$ の2つの解である。したがって解の差について $$(\beta -\alpha {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$$ を用いると，解と係数の関係から $$(\beta -\alpha {)}^2=(2p{)}^2-4(p-1)=4(p^2-p+1)$$ である。

したがって$${\displaystyle \frac{S}{\beta -\alpha }}={\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^2}{12}}={\displaystyle \frac{p^2-p+1}{3}}$$である。これは ${\displaystyle \frac{1}{3}}\{{(p-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}\}$ なので，最小は $p=1\mathrm{/}2$ のときであり，最小値は ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

2接点の中点 $m$ と半差 $h$ を導入し、接点を $m-h,m+h$ と対称に置く。接線と放物線の差は接点からの距離の2乗になるので、面積は左右同じ積分になる。解と係数の関係から $h^2$ を $P$ の座標で表して最小化する。

(1) $P=(p,p)$ とおく。$x=u$ における $C$ の接線は$$y=2ux-u^2+1$$である。これが $P$ を通る条件は$$\begin{array}{cccc}& u^2-2pu+p-1=0.& & \text{(1)}\end{array}$$判別式は$$4(p^2-p+1)=4\{{(p-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}\}>0$$だから、任意の $p$ に対して異なる2実根があり、2本の接線が引ける。

(2) (1)の2根を $\alpha <\beta$ とし$$m={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}},h={\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{2}}>0$$とおく。解と係数の関係より $m=p$、$\alpha \beta =p-1$ であるから$$\begin{array}{cccc}& h^2=m^2-\alpha \beta =p^2-p+1.& & \text{(2)}\end{array}$$$x=\alpha$ における接線と放物線の縦の差は $(x-\alpha {)}^2$、$x=\beta$ における接線との差は $(x-\beta {)}^2$ である。2接線は $x=m$ で交わるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{m-h}^m(x-m+h{)}^{2}dx+{\int }_m^{m+h}(x-m-h{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^h{t}^{2}dt={\displaystyle \frac{2h^3}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって(2)より$${\displaystyle \frac{S}{\beta -\alpha }}={\displaystyle \frac{2h^3\mathrm{/}3}{2h}}={\displaystyle \frac{h^2}{3}}={\displaystyle \frac{p^2-p+1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\{{(p-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}\}\mathrm{.}$$よって最小値は $p=1\mathrm{/}2$ のときの$$\text{最小値}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$である。