北海道大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
与えられた等式$${\int }_0^{x}f(t)dt=xf(x)+g(x)$$に $x=0$ を代入すると $0=g(0)$ である。

また、両辺を $x$ で微分する。左辺は $f(x)$、右辺は積の微分により $f(x)+x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)+g^{\mathrm{\prime }}(x)$ であるから $f(x)=f(x)+x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)+g^{\mathrm{\prime }}(x)$ となる。したがって $x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)+g^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ である。特に $x=0$ を代入して $g^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ を得る。 $g$ は3次関数なので $g(x)=p{x}^3+q{x}^2+rx+s$ とおく。$g(0)=0$ より $s=0$、$g^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ より $r=0$ である。したがって $g(x)=p{x}^3+q{x}^2$ と書ける。

さらに $x=1\mathrm{/}2$ で極値をとるので $$g^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0$$ である。$g^{\mathrm{\prime }}(x)=3p{x}^2+2qx$ だから $${\displaystyle \frac{3p}{4}}+q=0$$ である。また $g(1)=1\mathrm{/}3$ より $$p+q={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。連立すると $$p={\displaystyle \frac{4}{3}},q=-1$$ である。よって $$g(x)={\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^3-x^2$$ である。実際、$g^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^2-2x=2x(2x-1)$ なので $x=1\mathrm{/}2$ で極値をとる。

(2)
(1) で求めた $g$ について $g^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^2-2x$ である。$x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)+g^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ より、$x\mathrm{\ne }0$ では $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{4x^2-2x}{x}}=-4x+2$$ である。したがって $x>0$ と $x<0$ のそれぞれで $f(x)=-2x^2+2x+C$ の形になる。$f$ は微分可能なので $x=0$ で連続であり、左右の積分定数は同じである。よってすべての $x$ で $f(x)=-2x^2+2x+C$ と書ける。

条件 $f(1)=5$ から $-2+2+C=5$ であるから $C=5$ である。したがって $f(x)=-2x^2+2x+5$ である。

最後に確認すると$${\int }_0^x(-2t^2+2t+5)dt+=-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+x^2+5x$$であり、$$x(-2x^2+2x+5)+({\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^3-x^2)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+x^2+5x$$なので、確かに与式を満たす。

与式の微分から $g^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ を得る。$g^{\mathrm{\prime }}$ は2次式で $0,1\mathrm{/}2$ を根にもつため、因数分解形から $g$ を一気に決め、続いて $f$ を復元する。

(1)
$x=0$ を代入して $g(0)=0$ を得る。また与式を微分すると$$x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)+g^{\mathrm{\prime }}(x)=0,$$したがって $g^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。

$g$ は3次関数なので $g^{\mathrm{\prime }}$ は2次式である。$g^{\mathrm{\prime }}(0)=g^{\mathrm{\prime }}(1\mathrm{/}2)=0$ より、ある0でない定数 $C$ を用いて$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=Cx(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$と書ける。$g(0)=0$ も用いて積分すると$$g(x)=C({\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{4}})\mathrm{.}$$$g(1)=1\mathrm{/}3$ より $C\mathrm{/}12=1\mathrm{/}3$、したがって $C=4$ である。よって$$g(x)={\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^3-x^2\mathrm{.}$$(2)
$x\mathrm{\ne }0$ では$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{g^{\mathrm{\prime }}(x)}{x}}=2-4x\mathrm{.}$$したがって $f(x)=-2x^2+2x+C_1$ である。$f$ の微分可能性により $x=0$ の左右でも定数は共通であり、$f(1)=5$ から $C_1=5$ を得る。ゆえに$$f(x)=-2x^2+2x+5.$$