北海道大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{x\mathrm{/}a}-e^{-x\mathrm{/}a})$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}{(e^{x\mathrm{/}a}+e^{-x\mathrm{/}a})}^2\mathrm{.}}\end{array}$$括弧内は正なので$$\sqrt{1+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2}={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{x\mathrm{/}a}+e^{-x\mathrm{/}a})\mathrm{.}$$よって弧 $PQ$ の長さは$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{ab}\sqrt{1+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2}dx}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{a}{2}}{e}^{x\mathrm{/}a}-{\displaystyle \frac{a}{2}}{e}^{-x\mathrm{/}a}]}_0^{ab}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{2}}(e^b-e^{-b})\mathrm{.}}\end{array}$$$Q$ の $y$ 座標は$${\displaystyle \frac{a}{2}}(e^b+e^{-b})$$なので$$QR={\displaystyle \frac{a}{2}}(e^b+e^{-b})\mathrm{.}$$したがって$$L=a{e}^b\mathrm{.}$$(2)$$a={\displaystyle \frac{1}{b^3}}$$より$$L={\displaystyle \frac{e^b}{b^3}}(b>0)\mathrm{.}$$微分すると$$L^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{e^b(b-3)}{b^4}}\mathrm{.}$$よって $0<b<3$ で減少し、$b>3$ で増加する。したがって $b=3,a=1\mathrm{/}27$ のとき最小となり、$$L_{\min }={\displaystyle \frac{e^3}{27}}\mathrm{.}$$

弧長積分では $u=e^{x\mathrm{/}a}$ と置き、$PQ$ と $QR$ の和を求める。最小化は $e^v\geqq 1+v$ を $v=(b-3)\mathrm{/}3$ に適用し、微分を使わずに下界と等号条件を同時に得る。

(1)
弧長の被積分関数を確認し、$u=e^{x\mathrm{/}a}$ とおくと$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle \sqrt{1+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{x\mathrm{/}a}+e^{-x\mathrm{/}a}),}& {\displaystyle dx}& {\displaystyle =a{\displaystyle \frac{du}{u}},}\\ {\displaystyle PQ}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{2}}{\int }_1^{e^b}(1+{\displaystyle \frac{1}{u^2}})du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{2}}(e^b-e^{-b})\mathrm{.}}\end{array}$$また、$Q$ の高さを加えると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle QR}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{2}}(e^b+e^{-b}),}\\ {\displaystyle L}& {\displaystyle =PQ+QR=a{e}^b\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
$a{b}^3=1$ より $L=e^b\mathrm{/}{b}^3$ である。指数関数の接線不等式
$e^v\geqq 1+v$ に $v=(b-3)\mathrm{/}3$ を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle e^{(b-3)\mathrm{/}3}}& {\displaystyle \geqq {\displaystyle \frac{b}{3}},}\\ {\displaystyle e^{b-3}}& {\displaystyle \geqq {\displaystyle \frac{b^3}{27}}}\end{array}$$を得る。2行目では正の両辺を3乗した。したがって$${\displaystyle \frac{e^b}{b^3}}\geqq {\displaystyle \frac{e^3}{27}}\mathrm{.}$$等号は $v=0$、すなわち $b=3$ のときに成立する。このとき $a=1\mathrm{/}27$ であるから$$L_{\min }={\displaystyle \frac{e^3}{27}}\mathrm{.}$$