北海道大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) まず与えられた方程式に $x=0$ を代入する。積分区間は長さ0なので積分項は0であり，$f(0{)}^3+f(0)-2=0$ である。左辺は $$f(0{)}^3+f(0)-2=(f(0)-1)(f(0{)}^2+f(0)+2)$$ と因数分解できる。$f(0{)}^2+f(0)+2$ は判別式が $1-8<0$ で常に正なので $f(0)=1$ である。

次に，問題の方程式を $x$ で微分する。左辺の各項を微分すると $$3f(x{)}^2{f}^{\mathrm{\prime }}(x)+f^{\mathrm{\prime }}(x)-x{e}^{x}f(x{)}^2=0$$ である。したがって $$(3f(x{)}^2+1)f^{\mathrm{\prime }}(x)=x{e}^{x}f(x{)}^2$$ を得る。

ここで $f(0)=1$ であり，$f$ は微分可能だから連続である。また問題より常に $f(x)\mathrm{\ne }0$ なので，$f(x)$ は0をまたいで符号を変えることができない。したがって $f(x)>0$ がすべての $x$ で成り立つ。

よって $e^x>0$，$f(x{)}^2>0$，$3f(x{)}^2+1>0$ であるから，$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $x$ の符号と一致する。すなわち$$x<0\text{ で }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)<0,x=0\text{ で }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=0,x>0\text{ で }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)>0$$である。したがって $x=0$ で極小となり，その値は $1$ である。極大値は存在しない。

(2) 上で得た式 $$(3f(x{)}^2+1)f^{\mathrm{\prime }}(x)=x{e}^{x}f(x{)}^2$$ を，$f(x{)}^2$ で割ると $$(3+{\displaystyle \frac{1}{f(x{)}^2}})f^{\mathrm{\prime }}(x)=x{e}^x$$ である。左辺は ${\displaystyle \frac{d}{dx}}(3f(x)-{\displaystyle \frac{1}{f(x)}})$ であるから，両辺を積分して $$3f(x)-{\displaystyle \frac{1}{f(x)}}=(x-1)e^x+C$$ となる。 $x=0$，$f(0)=1$ を代入すると，左辺は $3\cdot 1-1=2$ であり，右辺は $-1+C$ である。したがって $C=3$ であり $$3f(x)-{\displaystyle \frac{1}{f(x)}}=(x-1)e^x+3$$ となる。

ここで $H=(x-1)e^x+3$ とおくと $$3f(x)-{\displaystyle \frac{1}{f(x)}}=H$$ である。$f(x)\mathrm{\ne }0$ なので両辺に $f(x)$ を掛けると $3f(x{)}^2-Hf(x)-1=0$ である。これを $f(x)$ について解けば $$f(x)={\displaystyle \frac{H\pm \sqrt{H^2+12}}{6}}$$ となる。すでに $f(x)>0$ が分かっているので，正の値をとる $$f(x)={\displaystyle \frac{H+\sqrt{H^2+12}}{6}}$$ を選ぶ。したがって $$f(x)={\displaystyle \frac{(x-1)e^x+3+\sqrt{\{(x-1)e^x+3{\}}^2+12}}{6}}$$ である。

先に明示式の候補を構成し、その候補が積分方程式を満たすことを微分と初期値で検証する。さらに $3u-1\mathrm{/}u$ の正の範囲での単調性を使い、条件を満たす関数がその候補以外にないことも確認する。

$x=0$ を代入すると$$f(0{)}^3+f(0)-2=0$$であり、実数解は $f(0)=1$ だけである。$f$ は連続で、どこでも0にならないから $f(x)>0$ である。

(2) ここで$$H(x)=(x-1)e^x+3$$とおき、正の関数$$F(x)={\displaystyle \frac{H(x)+\sqrt{H(x{)}^2+12}}{6}}$$を考える。この式は2次方程式 $3F^2-HF-1=0$ の正の解だから$$\begin{array}{cccc}& 3F-{\displaystyle \frac{1}{F}}=H\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(1)を微分し、$H^{\mathrm{\prime }}(x)=x{e}^x$ を用いると$$(3+{\displaystyle \frac{1}{F^2}})F^{\mathrm{\prime }}=x{e}^x,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& (3F^2+1)F^{\mathrm{\prime }}=x{e}^x{F}^2\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$次に$$K(x)=F(x{)}^3+F(x)-{\int }_0^{x}t{e}^{t}F(t{)}^{2}dt-2$$とおく。(2)より $K^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ である。また $H(0)=2$ なので $F(0)=1$、したがって $K(0)=0$ である。ゆえに $K(x)=0$ であり、$F$ はもとの積分方程式を満たす。

一方、任意の解 $f$ についても、もとの式を微分し $f(0)=1$ を用いて積分すれば$$3f-{\displaystyle \frac{1}{f}}=H$$を得る。関数 $3u-1\mathrm{/}u$ は $u>0$ で狭義単調増加だから、正の解はただ1つであり $f=F$ である。したがって$$f(x)={\displaystyle \frac{(x-1)e^x+3+\sqrt{\{(x-1)e^x+3{\}}^2+12}}{6}}\mathrm{.}$$(1) さらに(2)で得た関係式で、分母 $3F^2+1$ と $e^x{F}^2$ は正だから、$F^{\mathrm{\prime }}$ の符号は $x$ の符号と一致する。よって $x=0$ で極小となり、極小値は $1$ である。極大値は存在しない。