北海道大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $$P=(\sqrt{3}\cos \alpha ,\sin \alpha ),Q=(\sqrt{3}\cos \beta ,\sin \beta )$$ である。$\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ が直交するから、内積は0である。したがって $$(\sqrt{3}\cos \alpha )(\sqrt{3}\cos \beta )+\sin \alpha \sin \beta =0$$ すなわち $$3\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =0$$ である。 $$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$、$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\beta <\pi$$ なので、$\cos \alpha \mathrm{\ne }0$、$\cos \beta \mathrm{\ne }0$ である。両辺を $\cos \alpha \cos \beta$ で割ると $3+\tan \alpha \tan \beta =0$ であり、$$\tan \beta =-{\displaystyle \frac{3}{\tan \alpha }}$$ を得る。

ここで $t=\tan \alpha >0$ とおく。$\theta =\beta -\alpha$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \tan \theta }& {\displaystyle =\tan (\beta -\alpha )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \alpha \tan \beta }}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{3}{t}}-t}{1-3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(t+{\displaystyle \frac{3}{t}})}\end{array}$$である。したがって $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}(\tan \alpha +{\displaystyle \frac{3}{\tan \alpha }})$$ である。

(2) $t>0$ であるから、相加相乗平均より $t+{\displaystyle \frac{3}{t}}\geqq 2\sqrt{3}$ である。したがって $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}(t+{\displaystyle \frac{3}{t}})\geqq \sqrt{3}$$ である。等号は $t={\displaystyle \frac{3}{t}}$ すなわち $t=\sqrt{3}$ のときに成り立つ。このとき $\tan \alpha =\sqrt{3}$ かつ $$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ だから $$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。また $$\tan \beta =-{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{3}}}=-\sqrt{3}$$ で、$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\beta <\pi$$ だから $$\beta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ である。よって $$\theta =\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。

なお、条件より $0<\theta <\pi$ であり、ここでは $\tan \theta >0$ だから $$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。したがって $\tan \theta$ が最小となるときに $\theta$ も最小となる。以上より $${\theta }_{\min }={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。

内積条件から $t=\tan \alpha >0$ を用いた $\tan \theta$ の式を作る。相加相乗平均ではなく一変数関数の微分で最小点を求め、象限条件から角度差を確定する。

(1)

直交条件は$$3\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =0.$$したがって$$\tan \beta =-{\displaystyle \frac{3}{\tan \alpha }}\mathrm{.}$$$t=\tan \alpha >0$ とおけば、差の公式から$$\tan \theta =\tan (\beta -\alpha )={\displaystyle \frac{1}{2}}(t+{\displaystyle \frac{3}{t}})\mathrm{.}$$(2)$$\varphi (t)={\displaystyle \frac{1}{2}}(t+{\displaystyle \frac{3}{t}})(t>0)$$とおくと$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{3}{t^2}})\mathrm{.}$$よって $\varphi$ は $0<t<\sqrt{3}$ で減少し、$t>\sqrt{3}$ で増加するから、$$\min \varphi (t)=\varphi (\sqrt{3})=\sqrt{3}\mathrm{.}$$等号時は$$\tan \alpha =\sqrt{3},\tan \beta =-\sqrt{3}\mathrm{.}$$指定された象限から$$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{3}},\beta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}},$$したがって$${\theta }_{\min }=\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$$0<\theta <\pi$ かつ上式で $\tan \theta >0$ なので $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ であり、
$\tan \theta$ の最小化と $\theta$ の最小化は一致する。