北海道大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$$h(x)={\displaystyle \frac{2}{e^x+e^{-x}}}$$ とおく．$x\geqq 0$ では $e^x+e^{-x}$ は増加するので，$h(x)$ は正で単調に減少する．

まず $$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ を考える．この区間で $h(x)$ は減少し，$\sin x$ は増加するから $f(x)=h(x)-\sin x$ は単調に減少する．また$$f(0)=1>0,f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{2}{e^{\pi \mathrm{/}2}+e^{-\pi \mathrm{/}2}}}-1<0$$である．よって $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ には解がただ1つ存在する．

次に $${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi$$ を考える． $$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+u(0\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$ とおくと，$\sin x=\cos u$ である．方程式 $f(x)=0$ は $$h({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+u)=\cos u$$ と同値である．そこで$$R(u)={\displaystyle \frac{h({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+u)}{\cos u}}(0\leqq u<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$を考える．$R(u)=1$ となる $u$ が，後半区間の解に対応する． $$X={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+u$$ と書くと，対数微分により $${\displaystyle \frac{R^{\mathrm{\prime }}(u)}{R(u)}}=\tan u-{\displaystyle \frac{e^X-e^{-X}}{e^X+e^{-X}}}$$ である．右辺を $\mathrm{\Psi }(u)$ とおくと $${\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}u}}-{\displaystyle \frac{4}{(e^X+e^{-X}{)}^2}}>0$$ である．実際，$$0\leqq u<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ で ${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}u}}\geqq 1$，一方 $X>0$ だから $e^X+e^{-X}>2$ であり，$${\displaystyle \frac{4}{(e^X+e^{-X}{)}^2}}<1$$ である．したがって $\mathrm{\Psi }(u)$ は単調に増加する．

さらに$$\mathrm{\Psi }(0)=-{\displaystyle \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}-e^{-\pi \mathrm{/}2}}{e^{\pi \mathrm{/}2}+e^{-\pi \mathrm{/}2}}}<0,\mathrm{\Psi }(u)\to +\mathrm{\infty }(u\to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}-0)$$であるから，$R(u)$ ははじめ減少し，ある点から増加に転じる．しかも$$R(0)={\displaystyle \frac{2}{e^{\pi \mathrm{/}2}+e^{-\pi \mathrm{/}2}}}<1,R(u)\to +\mathrm{\infty }(u\to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}-0)$$である．よって $R(u)=1$ は $$0<u<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ でただ1回だけ起こる．

以上より，$f(x)=0$ となる $x$ は $0\leqq x\leqq \pi$ にちょうど2個存在し，1個は $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ に，もう1個は $[{\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pi ]$ にある．

減少曲線と正弦曲線の2交点

方程式を $(e^x+e^{-x})\sin x\mathrm{/}2=1$ と書き換え，その左辺の増減を調べる．後半区間では導関数が0になる条件を2つの単調関数の交点に変え，極大点がただ1つであることを示す．

方程式 $f(x)=0$ は$$G(x)=1,G(x)={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\sin x$$と同値である．

まず $0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では$$G^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}\sin x+{\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\cos x>0$$である．また$$G(0)=0<1,G\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}+e^{-\pi \mathrm{/}2}}{2}}>1.$$よって前半区間には解がただ1つある．

次に $\pi \mathrm{/}2<x<\pi$ を考える．$G^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は$$-\tan x={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}}$$と同値である．左辺を $L(x)$，右辺を $M(x)$ とおくと$$L^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}\leqq -1,M^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{4}{(e^x-e^{-x}{)}^2}}\mathrm{.}$$$x\geqq \pi \mathrm{/}2$ では $e^x-e^{-x}>2$ なので $-1<M^{\mathrm{\prime }}(x)<0$．したがって$$(L-M{)}^{\mathrm{\prime }}<0$$であり，$L-M$ は狭義単調減少する．さらに$$L(x)\to +\mathrm{\infty }(x\to \pi \mathrm{/}2+0),L(x)\to 0(x\to \pi -0),$$一方 $M(x)>1$ だから，$G^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となる点は後半区間にただ1つある．

よって $G$ は後半区間では初め増加し，その後は狭義単調に減少する．$$G\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)>1,G(\pi )=0<1$$であるから，増加部分では $G=1$ にならず，減少部分でちょうど1回だけ $G=1$ となる．
以上より，指定された各半区間に1個ずつ，全体でちょうど2個の解が存在する．