北海道大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$T=\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}),c=\sqrt{2}(1-{\displaystyle \frac{2\theta }{\pi }})$$とおく．2直線の交点では $Tx=-x+c$ であるから $$x={\displaystyle \frac{c}{T+1}}$$ となる．したがって $$y(\theta )=Tx={\displaystyle \frac{Tc}{T+1}}$$ であり，もとの文字に戻すと$$y(\theta )=\sqrt{2}(1-{\displaystyle \frac{2\theta }{\pi }}){\displaystyle \frac{\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}{1+\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}}$$である．

(2) $$u={\displaystyle \frac{\pi }{2}}t$$ とおくと，$t\to 0$ のとき $u\to 0$ である．加法定理より $$\tan ({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-u)={\displaystyle \frac{-1-\tan u}{1-\tan u}}$$ なので$$1+\tan ({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-u)=1+{\displaystyle \frac{-1-\tan u}{1-\tan u}}={\displaystyle \frac{-2\tan u}{1-\tan u}}$$である．したがって$${\displaystyle \frac{1+\tan ({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}t)}{t}}=-{\displaystyle \frac{2\tan u}{t(1-\tan u)}}=-{\displaystyle \frac{2u}{t}}\cdot {\displaystyle \frac{\tan u}{u}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-\tan u}}$$となる．$$u\mathrm{/}t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$，${\displaystyle \frac{\tan u}{u}}\to 1$，$1-\tan u\to 1$ より $-\pi$ である．

(3) $$s=1-{\displaystyle \frac{2\theta }{\pi }}$$ とおくと，$$\theta \to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}-0$$ のとき $s\to +0$ であり，$$\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}s$$ である．(2) より $${\displaystyle \frac{1+\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}{s}}\to -\pi$$ であり，また $$\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\to -1$$ である．したがって (1) の式から$$y(\theta )=\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}{{\displaystyle \frac{1+\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}{s}}}}\to \sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{-1}{-\pi }}$$となる．よって$$\underset{\theta \to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\lim }y(\theta )={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\pi }}$$である．

$\theta \to \pi \mathrm{/}2$ における交点

加法定理で $\tan (\theta +\pi \mathrm{/}4)$ を $\tan \theta$ に直すと，交点の $y$ 座標が積の形へ簡約される．最後は $u=\pi \mathrm{/}2-\theta$ とおき，基本極限 $u\cot u\to 1$ を使う．

(1) $$T=\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}),c=\sqrt{2}(1-{\displaystyle \frac{2\theta }{\pi }})$$とおく．交点では $Tx=-x+c$ なので$$y=Tx={\displaystyle \frac{Tc}{1+T}}\mathrm{.}$$加法定理より$$T={\displaystyle \frac{\tan \theta +1}{1-\tan \theta }},{\displaystyle \frac{T}{1+T}}={\displaystyle \frac{1+\tan \theta }{2}}\mathrm{.}$$よって$$y(\theta )={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1-{\displaystyle \frac{2\theta }{\pi }})(1+\tan \theta )\mathrm{.}$$(2)

$u=\pi t\mathrm{/}2$ とおく．加法定理から$$1+\tan ({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-u)=-{\displaystyle \frac{2\tan u}{1-\tan u}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{1+\tan ({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{\pi t}{2}})}{t}}=-{\displaystyle \frac{2u}{t}}{\displaystyle \frac{\tan u}{u}}{\displaystyle \frac{1}{1-\tan u}}⟶-\pi \mathrm{.}$$(3)

$u=\pi \mathrm{/}2-\theta$ とおくと $u\to +0$ であり，$$1-{\displaystyle \frac{2\theta }{\pi }}={\displaystyle \frac{2u}{\pi }},\tan \theta =\cot u\mathrm{.}$$したがって$$y(\theta )={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\pi }}u(1+\cot u)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\pi }}(u+{\displaystyle \frac{u\cos u}{\sin u}})⟶{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\pi }}\mathrm{.}$$