北海道大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$t=\tan \theta$ とおく．$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ では $\cos \theta >0$ であり，$t$ は任意の実数をとりうる．2倍角の公式より $$\cos 2\theta ={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}},\sin 2\theta ={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}$$ であるから，条件式に代入して $$2{\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}+a{\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}=1$$ を得る．ここで $1+t^2>0$ なので両辺に $1+t^2$ を掛けてよい．整理すると $$2(1-t^2)+2at=1+t^2,3t^2-2at-1=0$$ である．判別式は $$(-2a{)}^2-4\cdot 3\cdot (-1)=4(a^2+3)>0$$ なので，2つの実数解は $$t={\displaystyle \frac{2a\pm \sqrt{4a^2+12}}{6}}={\displaystyle \frac{a\pm \sqrt{a^2+3}}{3}}$$ となる．したがって$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{a+\sqrt{a^2+3}}{3}},{\displaystyle \frac{a-\sqrt{a^2+3}}{3}}$$である．どちらの値も実数であり，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ には任意の実数を $\tan \theta$ とする $\theta$ がただ1つ存在するので，この2つはいずれも条件を満たす．

条件式を $\sin \theta ,\cos \theta$ の2次同次式へ直し，$\cos \theta >0$ を確認してから一次式の積へ因数分解する．各因子を $\cos \theta$ で割れば，$\tan \theta$ の2つの値を直接読める．

条件式を2倍角の公式で書き直すと$$2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )+2a\sin \theta \cos \theta ={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta$$である．したがって$${\cos }^2\theta +2a\sin \theta \cos \theta -3{\sin }^2\theta =0.$$ここで$${\lambda }_{\pm }=a\pm \sqrt{a^2+3}$$とおくと，${\lambda }_{+}+{\lambda }_{-}=2a$，${\lambda }_{+}{\lambda }_{-}=-3$ なので$$(\cos \theta +{\lambda }_{+}\sin \theta )(\cos \theta +{\lambda }_{-}\sin \theta )=0$$と因数分解できる．

範囲条件より $\cos \theta >0$ であるから，各因子を $\cos \theta$ で割ってよい．よって$$1+{\lambda }_{+}\tan \theta =0\text{または}1+{\lambda }_{-}\tan \theta =0.$$ここで$$-{\displaystyle \frac{1}{{\lambda }_{+}}}={\displaystyle \frac{a-\sqrt{a^2+3}}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{{\lambda }_{-}}}={\displaystyle \frac{a+\sqrt{a^2+3}}{3}}$$である．したがって$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{a+\sqrt{a^2+3}}{3}},{\displaystyle \frac{a-\sqrt{a^2+3}}{3}}$$である．