北海道大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$\varphi (x)=e^x-1-x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ とおく。すると $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x-1-x,{\varphi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^x-1$$ である。$x\geqq 0$ では $e^x\geqq 1$ なので ${\varphi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ である。よって ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)$ は $x\geqq 0$ で単調増加し、${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ から ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ である。さらに $\varphi (0)=0$ なので、$\varphi (x)\geqq 0$ となる。したがって $e^x\geqq 1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}(x\geqq 0)$ が示された。

(2)
仮定$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=1$$より、十分大きい $x$ について $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }\leqq 2x$ としてよい。一方、(1)より $$e^x\geqq {\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ であるから、$x>0$ で $$x{e}^{-x}\leqq {\displaystyle \frac{2}{x}}$$ である。したがって十分大きい $x$ では $$\mathrm{\mid }f(x)e^{-x}\mathrm{\mid }\leqq 2x{e}^{-x}\leqq {\displaystyle \frac{4}{x}}$$ となる。右辺は $x\to \mathrm{\infty }$ で $0$ に近づくので、$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)e^{-x}=0$$である。

(3)
積の微分を計算すると $$\{f(x)e^{-x}{\}}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=\{f^{\mathrm{\prime }}(x)-f(x)\}{e}^{-x}$$ である。したがって $$\{f(x)-f^{\mathrm{\prime }}(x)\}{e}^{-x}=-\{f(x)e^{-x}{\}}^{\mathrm{\prime }}$$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^t\{f(x)-f^{\mathrm{\prime }}(x)\}{e}^{-x}dx}& {\displaystyle =-{\int }_0^t\{f(x)e^{-x}{\}}^{\mathrm{\prime }}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f(0)-f(t)e^{-t}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)より $f(t)e^{-t}\to 0$ であるから、$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^t\{f(x)-f^{\mathrm{\prime }}(x)\}{e}^{-x}dx=f(0)$$が成り立つ。

(1) は積分によって $e^x$ の下界を一段ずつ強める。(2)では $f(x)\mathrm{/}x$ と $x{e}^{-x}$ に分けて極限を評価し、(3)は部分積分公式をそのまま適用する。

(1)

$t\geqq 0$ では $e^t\geqq 1$ だから$$e^t-1={\int }_0^t{e}^{u}du\geqq t\mathrm{.}$$したがって $e^t\geqq 1+t$ である。これをもう一度積分すると$$e^x-1={\int }_0^x{e}^{t}dt\geqq {\int }_0^x(1+t)dt=x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\mathrm{.}$$よって$$e^x\geqq 1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\mathrm{.}$$(2)$$f(x)e^{-x}={\displaystyle \frac{f(x)}{x}}\cdot x{e}^{-x}\mathrm{.}$$第1因子は $1$ に収束する。(1)より $e^x\geqq x^2\mathrm{/}2$ なので$$0\leqq x{e}^{-x}\leqq {\displaystyle \frac{2}{x}}⟶0.$$したがって$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)e^{-x}=0.$$(3)

部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^t{f}^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-x}dx}& {\displaystyle ={[f(x)e^{-x}]}_0^t+{\int }_0^{t}f(x)e^{-x}dx\mathrm{.}}\end{array}$$移項して$${\int }_0^t\{f(x)-f^{\mathrm{\prime }}(x)\}{e}^{-x}dx=f(0)-f(t)e^{-t}\mathrm{.}$$(2)を用いて $t\to \mathrm{\infty }$ とすれば、極限は $f(0)$ である。